深度解析磁通量的变化

胡爱和

(张家港崇真中学 江苏 苏州 215631)(收稿日期：2016-05-23)



深度解析磁通量的变化

胡爱和

(张家港崇真中学 江苏 苏州 215631)(收稿日期：2016-05-23)

高中阶段由于引入磁通量的教学时机有待商榷，主观造成了学生对磁通量及其变化的理解困难；基于高中物理教学的实际需要，提出了两种磁通量变化的简易算法，并对涉及磁通量变化的应用提出了几点建议．

磁通量变化 平面法向量 电荷量 电磁感应定律

磁通量及其变化贯穿《物理·选修3-2》，尽管它们的作用、意义巨大，但磁通量好似罩着一层朦胧面纱，学生对其的认知感悟总是充满了困惑．之所以认识上模糊，笔者认为主要原因：首先磁通量引入时机尴尬；高中阶段物理量引入目的性很强，或为解决某类问题，或为描述某些现象，而磁通量是《物理·选修3-1》学习磁场时突然出现的(起码学生这样认为)，缺少了服务于教学的迫切动机，正因为目的不明确，教师在新课教学中忽视了对磁通量内涵的理解和外延的把握，造成了磁通量教学地位尴尬．其次不少教师对磁通量变化的认知不统一；物理学习中一直没有较好的方法计算磁通量的变化，前几年教师间关于“交流发电机线圈转动一周，磁通量的变化是4BS还是零？”的争论还历历在目，甚至出现了同校不同教师的班级得出两种不同的“正确”分析；教师内部的认识都不统一，学生出现困惑也理所当然．

本文基于高中物理教学需要，拟提出两种磁通量变化的计算方法，并对涉及磁通量变化的应用提出几点建议，供同行探讨．

1 磁通量变化的两种算法

磁通量是标量，有正有负，磁通量的正负不表示大小，可以理解为是一种标示，类似功的正负．高中物理学习中，若不涉及磁通量变化，规定磁通量的正负意义不大；而在磁通量变化过程中，教师对磁通量正负的规定又具有随意性，正是这种随意让学生费解，因此厘清磁通量为什么会有正负变化是解决学生困惑的关键，也是正确计算磁通量变化的关键．

1.1 引入平面法向量计算磁通量的变化

高中《数学·选修2-1》空间向量(第99页)对平面法向量做出了明确的定义，该内容的教学和《物理·选修3-1》磁场的学习几乎同步，因此学生在学习《物理·选修3-2》时具备了应用平面法向量的数学基础，也为计算磁通量变化做好了铺垫．下面用一个案例探讨引入平面法向量计算磁通量变化的过程．

如图1所示，矩形线圈从与磁场垂直的位置(图中实线)绕轴转动180°，已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈面积为S，求过程中磁通量的变化．

图1 磁场中的矩形线圈

选取一条与线圈平面垂直的有向线段——平面的法向量n，如图1中所示；线圈转动时，与线圈构成一个整体的平面法向量n也随之一起转动，穿过线圈的磁通量可以表示为Φ =BScos α，其中α是磁感应强度与平面法向量的夹角．根据表达式，初始位置线圈的磁通量Φ1=BS，末位置的磁通量为Φ2= -BS，因此过程中磁通量的变化

ΔΦ=Φ2-Φ1=-2BS

若线圈从初始位置开始转动一周，由于初末位置的平面法向量与磁感应强度的夹角相同，初末位置的磁通量也相同，所以磁通量的变化

ΔΦ=Φ2- Φ1= 0

引入法向量不仅方便计算转动中磁通量的变化，对平动中的磁通量变化计算也有益．

如图2所示，完全对称的磁场其磁感应强度为B，面积为S的线框从磁场Ⅰ区拖动到Ⅱ区，磁通量的变化为

ΔΦ=Φ2-Φ1= BScos 180°-BScos 0°=-2BS

图2 线圈在完全对称的磁场

以往计算磁通量或磁通量的变化，习惯做法是将磁感应强度分解或将面积沿磁场方向投影，学生由于空间感不强对角度的判断容易混淆；引入平面法向量n计算磁通量变化，有利于学生迅速找准磁感应强度与法向量的夹角α(比线面夹角更直观，更容易确定)，有利于学生理解磁通量正负的来历——只由两者夹角α决定，也让学生了解磁通量规定正负是为了方便计算其变化．

1.2 Φ- t图像法计算磁通量的变化

线圈绕与匀强磁场垂直的轴转动，穿过线圈的磁通量变化是连续的；线圈处在与磁场平行的位置时，磁通量为零，零是连续变化的正负数转换的临界点；当线圈即将转过与磁场平行的位置(Φ=0)，此时穿过线圈的磁通量即将由正值变为负值，或刚好相反．根据这一特点，可以绘制Φ-t图像形象地反映并计算线圈中磁通量变化．

在图1所示的线圈匀速转动中，取初始时刻磁通量为正值，当t1时刻线圈转过90°时，磁通量为零，此时线圈的磁通量即将由正变负，描绘Φ- t图像如图3所示，以后再转90°至图1中虚线所示位置时，磁通量为- BS；转半圈的磁通量变化

ΔΦ= -BS - BS= -2BS

图3 Φ-t图像

转一圈的磁通量变化为

ΔΦ= BS - BS=0

即使线圈不是匀速转动也可以借鉴图像计算磁通量变化，只不过最好能转换为Φ-θ图像，θ是线圈转过的角度．当然图像法也有局限性，仅限于线圈在磁场中转动，当线圈平动如图2所示，此时应用图像法计算磁通量变化就不方便．

2 对电荷量的限制应用

足够长的导轨MON处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，如图4所示，ON和OM的夹角为53°，与ON垂直的导体棒AB从O点开始以速度v向右匀速运动，导体棒与ON和OM始终接触良好且它们单位长度的电阻均为r.求经过3t时间通过导体棒横截面的电荷量．

图4 导体棒在成夹角的导轨上运动磁通量的变化

学生解题思路1：

导体棒在3t时间内的位移

x=3v t

导体棒在回路中的有效长度

L=4v t

此时回路的电阻为

R=12v tr

回路面积为

所以穿过的电荷量为

学生解题思路2：

经任意时间t导体棒的位移

x= v t

切割磁感线的有效长度为

闭合回路中的有效电动势为

此时闭合回路的电阻为

在t时刻电路中的电流

该电流与时间无关，是一个定值．

因此穿过横截面的电荷量

据法拉第电磁感应定律感应电动势

电路中的感应电流

电荷量q=IΔt， 联立3个表达式得

3 磁通量与感应电流间正负的自洽问题

近日听公开课“交流电的产生”，觉得有些方面值得商榷．

经历了实验、理论探究，师生共同归纳了正弦交流电产生的规律；课堂尾声，教师抛出这样一个问题，出现了下面的教学片段：如图5所示，线圈处于变化的匀强磁场中，开始时磁场向里；穿过线圈的磁通量随时间的变化如图6所示，规定沿ABCDA(逆时针)电流为正，试判断各阶段电流的方向，并定性画出i-t图像．

图5 线圈处于变化的匀强磁场中

图6 Φ-t变化曲线

学生在充分的思考以及小组交流后，师生互动中学生应用楞次定律判断电流方向，再与规定的电流方向比较画出i-t图，并在实物投影上展示如图7所示的i-t图像，得到师生的肯定．整个过程逻辑严密，合乎规范，那值得商榷的地方在哪儿？

图7 值得商榷的i-t图像

图8 正确的i-t图像

也就是说，一旦在情境中规定了磁通量的正负，在磁通量的变化过程中，电流、电动势的正负就随

之确定．而题干中Φ-t图像明确的情况下，再规定电流的正负反而是画蛇添足．

Depth Analysis on Magnetic Flux Changes

Hu Aihe

(Zhangjiagang Chongzhen Middle School,Suzhou,Jiangsu 215631)

Due to the introduction of magnetic flux teaching time for debate in middle school,Subjective caused difficulties of understanding flux and its changes for students.This article is based on middle school physics teaching actual need,Put forward the two kinds of magnetic flux change simple algorithm,And to involve the application of magnetic flux change puts forward some Suggestions.

the change of the magnetic flux；surface normal vector；electric quantity；law ofelectromagnetic induction