线圈并联时通过两个线圈磁通量的关系

李存志

(西安电子科技大学理学院，陕西西安 710071)

众所周知，当两个线圈串联时，通过整个线圈的磁通量等于通过两个线圈磁通量的和。在确定两个线圈串联后的等效自感系数时，可以利用磁通量的方法，也可以用感应电动势的方法。但在确定两个线圈并联后的等效自感系数时，人们通常利用感应电动势的方法［1－3］，迄今为止还未见到用磁通量的方法。因为这里存在一个长期困扰研究者的基本问题，即当两个线圈并联时，通过两个线圈的磁通量之间满足什么关系?文中将试图回答这一问题。

1 命题与证明

命题 在不考虑线圈电阻的条件下，对于线圈并联，通过两个线圈的磁通量相等。

证明 假设有线圈1和线圈2，它们的自感系数分别为L1和L2，之间的互感系数为M，不考虑它们的电阻，把两个线圈并联，如图1所示。设干路中通有电流I，两个支路中电流分别为I1和I2，则有当电流变化时式(1)仍然成立。

图1 两个线圈并联图

对式(1)两边对时间求导，有

当电流变化时，在线圈1中会产生自感电动势εL1和互感电动势ε12，在线圈1中总的感应电动势ε1为

在式(3)中，符号“±”及“∓”的取法，对于顺并联取上面的符号，对于反并联取下面的符号，以下同。

同样，在线圈2中总的感应电动势ε2为

设两个线圈并联后的等效自感系数为L，则等效线圈的自感电动势εL为

由于不考虑线圈的电阻，所以在任意时刻t，有

将式(2)～式(6)联立，可得到两个线圈并联后的等效自感系数

令 Φm1=L1I1± MI2，Φm2=L2I2± MI1，Φm=LI。Φm1、Φm2和Φm分别表示t时刻通过线圈1、线圈2和等效线圈的磁通量。则式(3)～式(5)可分别表示为

式(8)～式(10)正是法拉第电磁感应定律。

由式(6)得，在任意时刻t

将上式两边同乘以d t，得

即在相同的时间内，通过每个线圈的磁通量的增量相等，且等于等效线圈磁通量的增量。

假设在t=0时刻，I=I1=I2=0，Φm=Φm1=Φm2=0，则在任意时刻 t，有

即在任意时刻t，通过两个线圈的磁通量相等，且等于通过等效线圈的磁通量，证毕。

2 应用

下面用磁通量的方法确定两个线圈并联后的等效自感系数。在任意时刻t

通过线圈1的磁通量为

通过线圈2的磁通量为

通过等效线圈的磁通量为

根据文中的结论，有

将式(14)～式(18)联立可得到两个线圈并联后的等效自感系数

显然，利用磁通量的方法确定线圈并联后的等效自感系数比用感应电动势的方法更为简单。

3 结束语

利用法拉第电磁感应定律证明了:对于理想线圈(即不考虑电阻)，在线圈并联时，通过每个线圈的磁通量相等，且等于通过整个回路的磁通量。对于理想线圈的串并联可总结为:线圈串联，电流相等，磁通量相加;线圈并联，磁通量相等，电流相加。利用磁通量的方法确定线圈并联后的等效自感系数比用感应电动势的方法更为简单。

［1］林祥立.两并联线圈总等效自感系数的确定［J］.六盘水师专学报:自然科学版，1995(4):64－67.

［2］梁明智.具有互感的线圈的串联和并联［J］.赤峰学院学报:自然科学版，2009，25(1):13 －14.

［3］REESE R L.大学物理［M］.北京:机械工业出版社，2002.