极值理论及其在回归模型中的应用

傅昱皓

【摘要】本文介绍了使用极值理论来求函数极值的两种方法，并与传统的求极值的方法进行对比，发现极值理论在求解函数极值中的优越性和可靠性。最后结合极值理论，求解计量经济学中的回归方程的参数。

【关键词】极值定理  回归模型

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0122-02

在数学分析中，在给定范围的函数的最大值和最小值，统称为极值。而皮诶尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数最大值和最小值的数学家之一。那什么是极大值和极小值呢？

如果一个函数在一个点的一个相邻定义域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大或最小，那么这个函数在该点处的值就是一个极大值或极小值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大或小，它就是一个严格的极大值或极小值。那么该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。那么这样的极值点到底要怎么求呢？

一、一元函数求极值

我们首先考虑下简单一元函数，来观察其极值的求法。可以知道一元函数极值的必要条件：设函数f（x）在x0点处可导，并且f（x0）为极值，即x0为极值点，那么有f '（x0）=0。

对于一元函数而言，使用反证法，如果假设极值点的导数不为0，那么不妨f '（x0）>0。由于导数本质上是一个极限，也就是说对于一个小量ε满足ε∈（0，f '（x0）），存在一个小量δ>0，使得对于x∈（x0-δ，x0+δ）有：

f '（x0）-■<ε

而由于ε∈（0，f '（x0））的条件可以知道■>0。而在这种情况下，可以知道f（x0）不可能是函数在x0附近的极值点，矛盾！

所以我们可以知道，如果x0为函数的极值点，那么一定有f '（x0）=0。

回到正常一元函数求极值的问题，事实上导数代表了函数的单调情况，所以我们再分析函数在极值点边上的单调情况就能清楚函数的极值点到底是什么了。

考虑函数f（x）=x3-3x的极值情况。

由于函数在定义域R上可导，所以先求原函数的导函数及f '（x）=3x2-3。然后对求得的导函数因式分解为f '（x）=3（x+1）×（x-1）。可以得到f '（x0）=0有两个根及x=1或x=-1。

而求得的两个根将整个定义域分为三个部分：当x<-1时，f '（x）>0，f（x）单调递增;当-11时，f '（x）>0，f（x）单调递增。

所以可以知道f（-1）是极大值，f（1）是极小值。

用求導的方法来解一元函数极值问题是极值问题中最简单和最基础的一部分。因为我们可以通过求导在一元函数中的定义来推出导数在多元函数中的定义，从而解决多元函数求解极值的问题。

二、二元函数求极值

对于我们二元函数求极值，我们知道如果函数是简单的二次函数，比如f（x）=a1x2+a2y2+a3xy+a4x+a5y+a6，这样的形式的多项式，我们可以采用传统方法来求解。然后将所有包含x的组合一个平方数a1（x+■+■y）2.剩下的只剩下y的二元多项式，然后我们可以计算出相应的极值情况。但是如果是包含多次的函数的话，就难以通过传统的方式来进行求解。这里可以采用极值理论来进行求解：

考虑二元函数求极值的充分条件：f（x，y）是关于x和y在f（x）上的函数。我们设z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个领域有二阶连续偏导数（即求其中一个变量的导数而保持其他变量恒定）fx'（x0，y0）=fy'（x0，y0）=0，A=fxx'（x0，y0），B=fxy'（x0，y0），C=fyy'（x0，y0），则

（1）当AC-B2>0，A>0时，P0为极小值点

（2）当AC-B2>0，A<0时，P0为极大值点

（3）当AC-B2<0，P0不为极值点

（4）当AC-B2=0，P0可能是极值点，也可能不是

通过极值理论，我们如果假设函数f（x）=■■■■■（aix+biy+ci）2，考虑函数的最值情况。

第一步，我们先对这个函数的x求导，即fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）和对y求其导，fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）

第二步，我们计算函数fx'（x，y）对x的偏导即fxx'（x，y）=2ai2以及函数fy'（x，y）对y的偏导即fyy'（x，y）=■■■■■2bi2和对函数fx'（x，y）对y的偏导即fxy'（x，y）=■■■■■2aibi。

第三步，我们分别将上述三式fxx'（x0，y0）和fyy'（x0，y0）和fxy'（x0，y0）设为A，B和C，带入AC-B2，通过均值不等式，可以知道，AC-B2>0，A>0，那么可以知道fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）=0以及fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）=0所得的解即为所求的极小值。

由此可见，利用偏导的方法来求函数的极值比传统方法更简单，也更方便易懂。不仅如此，在计算经济学即一元一次回归方程中，这种方法同样可以大放光彩。

三、计量经济学中的应用

回归分析是研究一个所谓的因变量对另一个或多个所谓的解释变量的依赖关系的分析方法，其用意在与通过后者的已知或设定值去估计前者的均值。而在回归分析中，比较典型的例子就是货币工资变化率与失业率联系起来的菲利普斯曲线。

对于两列数{xi，i=1，2，…，n}，{yi，i=1，2，…，n}，如果我们想要探究y和x之间的关系的话，需要对这个的自变量和因变量之间关系进行建模，而在统计学和计量经济学中我们常用回归分析来进行建模：Yi=b+aXi+ui。

而在回归模型中，我们知道需要使得误差ui最小。如果采用■■■最小化准则，那么可能出现■i偏离线性方程，而且散布得很远，但是■■i的代数和却很小。所以在计算的过程中，我们采用最小二乘准则。也就是求满足一元回归函数f（a，b）=■■■■■（yi-axi-b）2最小的参数a和b。

对于这个回归式子，我们采用极值理论的方法：

第一步，先对a求导，得到fa'（a，b）=■■■■■-2xi（yi-axi-b），再求其二阶偏导得到函数faa'（a，b）=■■■■■2xi2。再用同样的方法求得对b的一阶偏导fb'（a，b）=■■■■■-2（yi-axi-b）和对b的二阶偏导fbb'（a，b）=■■■■■2。以及对a的一阶偏导的b求偏导fab'（a，b）=■■■2xi

第三步，我们将A，B，C们的公式有：AC-B2=■■■2xi2·■■■2-（■■■2xi）2≥0，并且A=■■■2xi2>0。

（下转第125页）

（上接第122页）

这样我们知道所求的函数f（a，b）的最小值在fa'（a，b）=0并且fb'（a，b）=0的时候达到。可以求得：

a=■，b=■，

四、总结

与其他传统求最值得方法相比，极值理论的方法显然优越了太多，解决了项数多、次数高时传统方法繁琐的计算与配方。在计算相应的最值问题的时候，运用偏导的方法能够在运算量允许的范围内完美的求解出答案。同时运用极值理论，能够在计量经济学的回归模型中能够很轻松地计算出所需要的模型参数，极大地简化模型的运算量，在实际应用中起到了极大的作用。

参考文献：

[1]伍胜健.北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）[M]. 北京大学出版社， 2015.

[2]高炜宇，谢识予.高等计量经济学[M].高等教育出版社， 2002.