高三数学专题复习主线教学设计新思考

摘 要：主题教学设计是以主题为中轴，围绕教学主题而展开的，其以教学主题为枢纽，在系统内诸要素之间彼此联系、相互作用与协调运行中，驱动师生“双适应双发展”。文章以《多变量最值问题》为例，分享了高三数学专题复习主线教学设计的相关教学案例，探讨高三数学专题复习主线教学设计的相关策略。

关键词：数学概念；数学思想；教学感悟

作者简介：李刚，江苏省木渎高级中学教师。（江苏 苏州 215100）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）31-0097-02

高三数学专题复习不应该只是对已掌握知识的再回顾，更应该关注学生对知识系统的再建构、再补充完善。而主题教学设计就是倡导将教学内容置于整体中去把控，关注教学内容的本质以及蕴含其中的数学思想方法。

一、高三数学专题复习主线教学设计的策略研究

专题复习主线教学设计是根据教学内容以及教师对于内容之间的联系进行的创造性思考和整合，在复习过程中，尤其是在经过一轮复习后的专题复习中，针对多个知识点或者跨章节中相关联的一些问题，可以组织专题复习主线教学，即通过设计把相关的知识系统化、结构化，通过知识、技能、思想等层面对教学内容进行一次系统、全面的回顾与梳理，进而让学生完善认知结构，促进解题思想方法的形成，提升学生的数学综合素养。

1. 以重要的数学概念或核心数学知识为主线设计教学。江苏高考数学科目考试说明共有118个考点，这些知识点在教材中有些是在章节中呈现，有些是跨章节呈现，如函数的基本性质、基本初等函数、数列、不等式、导数及其应用作为独立的板块单独成章，但又紧密联系，呈现出一种递进，螺旋上升的关系。因此，在高三数学专题复习中，可以以重要的数学概念或核心数学知识为主线设计教学，形成专题。例如，以高中数学内容中的单调性为例，可以设计多元问题的最值问题、数列中的最值（范围）问题，函数的零点问题等。

2. 以数学思想方法为主线设计教学。教材中有很多体现数形结合思想的内容章节，如果可以以数形结合思想方法来组织设计主题教学，则可以将高中数学内容中的集合、基本初等函数、函数与方程、导数、解析几何等内容整合在一起构成数形结合思想方法的主题，这样不仅可以在高三复习中完善自己的认知体系，也可以体验由形到数，再由数到形的转化过程，把握数形结合的双向性，增强思维的转化能力和数学问题的表征能力。

3. 以数学解题方法为主线设计教学。在教学中，教师能站在一个高度，以数学解题方法为主线引导学生对所学方法进行归类整理，学生应该会对解题方法有更深刻的领悟，将解题方法熟练应用到原有的认知结构中，进而提升解题意识和能力。例如，换元法在高中数学知识中有着非常广泛的运用，尤其在处理复杂式子时优点非常明显，但是这一方法仅仅通过一道题或者一个知识点很难让学生完全掌握。因此，教师可以结合换元法在不同情境中的运用进行整合，以此为主線设计教学，进行螺旋式的训练。

二、高三数学专题复习主线教学设计的教学案例

在高三数学测试题中，经常会涉及多变量最值问题，此类问题涉及数学知识丰富，横跨很多章节，解题方法多样，因此，笔者以多变量最值问题为主线设计专题教学。

引例：已知x+y=1，求x2+y2的最小值。

对于高三学生来说，这是一道基本题，处理方法常涉及以下五种：

法1：将x+y=1变形为y=1-x，代入x2+y2可得2x2-2x+1，从而将问题转化为求二次函数的最小值。

法2：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

法3：注意到在平面直角坐标系中x+y=1表示直线，x2+y2的几何意义是直线上的点到原点距离的平方，从而转化为求原点到直线的距离。

法4：借助于法2的思想，设x2+y2= t（t>0），从而转化为直线与圆有公共点，利用几何法或代数法均可求得最小值。

法5：设x2+y2= t（t>0），则x= cos？兹，y= sin？兹，代入x+y=1，利用三角函数有界性可求得最小值。

上述引例从题目到解法都是相当基础的，但是在基础之中又蕴含了丰富的内容，这个问题可以看成是一个纯粹的代数问题，选择代入消元或者不等式即可；或者选择三角换元，利用三角函数知识解题。同时，这个问题也可以是解析几何问题，转化为直线与圆的位置关系问题，考查到了代数式的几何意义，应该说建立了代数和几何的有机联系。因此，可以以此为拓展点，进行后面的变式主题教学。

变式1 已知x2+y2=1，求x+y的最小值。

法1：设x=cos？兹，y=sin？兹，则x+y=cos？兹+sin？兹= sin（？兹+ ），利用三角函数有界性即可求得结果。

法2：令x+y= t，转化为直线与圆有公共点，从而可以利用方程思想或者几何法求得结果。

法3：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

变式2 已知x2+y2=1，求2x+y的最小值。

变式1的法1和法2可用，法3不可直接用，但可以通过构造后用。

法3：（2x+y）2=4x2+y2+4xy=4x2+y2+2x（2y）≤4x2+y2+x2+4y2=5（x2+y2）=5，由此，可求得最小值。

变式3 已知4x2+y2+xy=1，求2x+y的最小值。

在条件中增加了xy后，法1、法2和法3都可以运用，另外还可以增加法4。

法4：设2x+y= S，则S2=（2x+y）2=4x2+4xy+y2+？姿（4x2+4xy+y2-1）=（4+4？姿）x2+（4+？姿）xy+（1-？姿）y2-？姿. 由△=（4+？姿）2-4（4+4？姿）（1+？姿）= 0，解得？姿=- 或？姿=0（舍去）。

当？姿=- 时，S2=- x2+ xy- y2+ =- （2x-y）2+ ≤ ，从而Smin= .

综上所述，在处理多元最值问题时，我们通常会由消元法转化为一元函数问题，利用方程的思想转化为方程有解问题，配凑基本不等式，通过常值代换构造齐次式以及高等数学中的拉格朗日乘数法求最值。通过对引例及其变式的分析与解法探究，学生对于多元最值问题的题型应该会有更高的认知，在解题的方法上应该也会有深刻的感悟，相信今后能够正确、优选相关方法解决相关问题。

三、高三数学专题复习主线教学设计的教学感悟

高三复习不仅要关注知识网络的建构，更要关注基本方法的建构和数学思想的渗透。高三数学专题主线教学设计不是相关知识题目的随意组合，而是贯穿了数学知识、解题技巧及思想方法，是一个完整的系统。通过主题教学，让学生把握知识的本质、掌握解题的方法、感悟数学思想。在上述案例中，通过引例及变式，围绕知识、方法、思想等主线展开，题目选择一方面凸显其整体性和统领性，突出其对重点知识和能力的要求，另一方面通过变式呈现出一定的层次性，由易到难、由基础到综合，通过挖掘知识与方法间的内在联系，归纳、整理、升华，形成知识网络，真正实现“解一题、通一类、会一片”。对于多元最值问题的解题，可以运用函数与方程基本思想、化归思想、数形结合思想，采用消元法（减法）、换元法（三角换元、整体换元）等基本方法，也可以采用配凑法（配凑基本不等式）、待定系数法、常值代换。

总之，在高三数学复习过程中，教师要认真研读教材、研究考纲，从知识、技能、思想等方面设计教学，让学生在复习过程中深刻理解数学知识的本质，掌握核心解题技能和数学思想方法，真正实现减负增效，培养学生核心素养的目的。

参考文献：

[1] 教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李宽珍.微专题教学方法的教学尝试[J].数学通讯（教师），2017，（1）：21-25.

[3] 王耀.由两道武汉市调研试题谈几种变换思想在解题中的应用[J].数学通讯（教师），2016，（4）：30-32.

责任编辑 黄 晶