一类过定点的函数族的试题命制与分析
2018-01-16杨苍洲
1试题内容
已知函数f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1.
（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）当x>0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围.
2考查目标
本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.
3命制过程
命题者构造了过定点（0，0）的函数族g（x）=ex-ax-1.随着实数a取值范围的变化，函数g（x）的单调性、极值都发生变化.
当a≤0时，函数g（x）在区间R单调递增（如图1）；
当a>0时，函数g（x）在区间（-∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增（如图2）.
图1图2于是命题者设置了问题（Ⅰ）：讨论函数g（x）的单调性.
为了增加试题难度，命题者考虑引入新函数，于是构造了过点（0，0）的函数f（x）=x2-x.
由于动函数g（x）与定函数f（x）相交于点（0，0）.于是考虑比较f（x）与g（x）在定点（0，0）两侧函数值的大小.为减小试题的难度，命题者只研究两个函数在定点右侧的情况，即研究x>0时，两函数值的大小关系.
如图3，当a≤0时，函数f（x）的图像恒在函数g（x）图像的下方.
如图4，当0 如图5，當a>e-1时，函数f（x），g（x）的图像在y轴右侧有异于点（0，0）的又一交点（p，q）.当0 图3图4图5根据上述分析，命题者设置了问题（Ⅱ）：当x>0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围. 4解题思路 第（Ⅰ）步的求解：首先求出g（x）的导函数g′（x）=ex-a，然后根据a的不同取值，讨论g′（x）的零点及其符号，从而判断函数g（x）的单调性. 第（Ⅱ）步的求解：首先对含参不等式进行变量分离得a≤exx-x-1x+1，从而把问题转化为求解函数h（x）=exx-x-1x+1（x>0）的最小值问题，然后用导数研究h（x）的最小值. 5试题详解 （Ⅰ）g′（x）=ex-a. （1）当a≤0时，g′（x）>0，g（x）在（-∞，+∞）单调递增. （2）当a>0时，当x∈（-∞，lna）时，g′（x）<0，g（x）单调递减； 当x∈（lna，+∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增. （Ⅱ）当x>0时，x2-x≤ex-ax-1， 即a≤exx-x-1x+1. 令h（x）=exx-x-1x+1（x>0）， h′（x）=ex（x-1）-x2+1x2. 令F（x）=ex（x-1）-x2+1（x>0）， F′（x）=x（ex-2）. 当x∈（0，ln2）时，F′（x）<0，F（x）单调递减； 当x∈（ln2，+∞）时，F′（x）>0，F（x）单调递增. 又F（0）=0，F（1）=0，所以当x∈（0，1）时，F（x）<0，即h′（x）<0，h（x）单调递减. 当x∈（1，+∞）时，F（x）=（x-1）（ex-x-1）>0，即h′（x）>0，h（x）单调递增，所以h（x）min=e-1，所以a∈（-∞，e-1]. 6试题评价 本题主要检测的数学学科素养有：逻辑推理，运算能力，直观想象.预计本题难度系数03，拟作为高考文科数学模拟试卷的第21题. 命题者呈现给考生的是一个函数导数试题.试题具有典型的全国卷压轴试题的风格，适合作为参加全国卷考试的考生作为临考的高仿真模拟考试. （1）试题的表述简洁明了，设问方式干净利落，有效减少了考生的阅读负担.试题的背景函数f（x）=x2-x是考生所熟悉的二次函数，g（x）=ex-ax-1是由一次函数y=ax+1和指数函数y=ex组合而成的，这也是学生较为熟悉的函数背景.以这两个函数为背景命题大大地降低了学生的畏难心理，使得检测结果能更加真实地反应出考生的学业水平，从而增加了考试的信度和效度. （2）试题第（Ⅰ）步，从讨论函数g（x）的单调性入手，重点考查了利用导数判断函数的单调性，同时考查分类与整合的数学思想，实现了知识与能力的双重检测. （3）试题第（Ⅱ）步，研究二次函数f（x）=x2-x和函数g（x）=ex-ax-1的图像的位置关系，重在考查学生数形结合、化归与转化、分类与整合的数学思想.此步骤具有明显的区分度，能有效地区分出优等生与中等生对数学知识不同的掌握程度. 从试题及其解答可以看出本题符合考试大纲对高中毕业生的检测要求，从试题的命题过程可以看出命题者娴熟的命题手法.综上，本题及本题的命题手法都是值得学习和借鉴的！ 作者简介杨苍洲（1979—），男，福建泉州人，中学一级.研究方向：高中数学教学，高考命题研究. 主要成绩：福建省第二届教师教学技能大赛特等奖获得者.曾被评为泉州市书香教师、教坛新秀、教科研先进个人.发表论文200多篇.多次受邀参与福建省高考命题工作.
