整数度角的尺规作图

黄正洪

【摘要】在平面几何学中，人们不能用尺规作图的方法画出一个1°的角来，这似乎成了常理，但如果能用非寻常的手段来解决这个问题，则很多与此有关的问题都将迎刃而解.本文叙述了整数度角的尺规作图，过去在平面上无法解决的尺规作图问题，也许大都可以从多一个维度的探索里得到解决.

【关键词】整数度角；尺规；作图

在平面几何学中，人们不能用尺规作图的方法画出一个1°的角来，这似乎成了常理，但如果能用非寻常的手段来解决这个问题，则很多与此有关的问题都将迎刃而解，因此，对这个方向的探索有一定意义.为了实现心中的理想，在避开先贤们走过的弯路的同时，我们考虑到了必须从特殊角的特殊性中来寻找画作的契机，故在这里有必要对特殊角在平面几何学中的重要地位作一梳理.首先，要确认的是：常见的特殊角有30°，45°，60°，90°，120°等等，后来人们又在尺规五等分圆周的过程中认知了18°，36°，54°，72°等等也都是特殊角.以上角度其所以被认为特殊，是因为它们都是能用尺规作图的方法画得出来，并且与其有关的函数值也都有其特殊性.前面列举的那些特殊角，在常见常用的一对三角板或其板角的拼凑上幽然傲立，尽享美誉，后面列举的这些特殊角，也只需借助一个黄金分割的特定方程即x2+x-1=0的功力就可以达到画出的目的，此言下之意即为，以特定方程的有用根x1=5-12为底，以1个单位之长为腰，便可以在平面上画出一个等腰三角形，而此等腰三角形的顶角即为36°，两底角即为72°.反其序而为之，则知顶角为36°的等腰三角形与自身底角平分线所形成的相似三角形的边长之比即能造就上述独一无二的一元二次方程.五等分圆周中的尺规之趣正是由此而生，这二者相辅相成，为数学王国的画法乐园增添光鲜的一笔.说到这里，我相信大家对特殊角的存在有了更为深刻的印象，现在我要说的是：对以上两组特殊角进行简单的加减，并从小到大安排好先后次序就会出现如下既具体又有规律的角度：3°，6°，9°，12°，15°，18°，21°，…无须仔细推敲，便可认定这组特殊角的通项表达式为n×3°（n=1，2，3，…）.由于特殊角同任意角一样可以不断二分，因而，我们又认知了更特殊的角有这些特殊角的2n等分角，更更特殊的角还有这些被等分角的和差及其倍角.写到这里，我们相信大家对特殊角处世的秘密有了更多的了解.值得注意的是：特殊角的通项表达式从未在已问世的资料或期刊中有过露面，故我们可以认定这是一种新的总结和归纳，这种新的总结和归纳的意义在于人们从数学的角度统一了所有特殊角存在的理义.也只有有了这样一种有点别开生面的理义，我们探索整数度角的尺规作图的思绪才得以雾散云开.

前面提到的那个“非寻常手段”并不是建立在二维的平面上，而是建立在三维的空间中，在多一个维度的助力下，艰难的探索工作又展现了“风正一帆悬”的美好景象，由于引导苦舟航进的灯塔仍然是无涯学海中的尺和规，故这个空间作图的过程没有超出尺和规的范畴，现在让我们在此共识下来确诊这个1°角的画作方案，看看是否能经得起理论和实践的考验.因其过程的表述还算清晰，空间的想象亦并不为难，那么如图所示的内容就留给有缘诸君自行画出.

（一）从特殊角中选取适当大小的一个角度，本文选取45°作为顶角，选取适当长的AB作为底边，画作等腰三角形ABO.

（二）把等腰三角形ABO放进空间直角坐标系中，使其顶点O与原点O重合，使其腰OA与OY轴重合，使其底边AB落在水平面上，此说即为把等腰三角形ABO放置在规定位置的水平面上.定义：如此放置的这个等腰三角形为本文的基础三角形，定义：过该三角形顶点O的垂直于水平面的OZ轴叫立轴.定义：OX轴叫水平轴.如此为之，我们研究的对象便在空间直角坐标系中安了一个特殊的家.

（三）根据特殊角的通项表达式而知42°角是特殊角，我们要用尺规作图的方法画出这个顶角为C，C为42°，底边之长为AB的等腰三角形.此等腰三角形的画法是在平面上预先画作42°角，次画与该角的角平分线平行且两边相距都为12AB的平行线，然后，连接两条平行线与42°角的两条射线的交点，则所形成的等腰三角形ABC即为所求.现在我们要将此等腰三角形移进空间的特殊的家，其移进的方法是：以基础三角形的底边AB不动作为三角形ABC的底边，以A为圆心，以预先画作的顶角为42°的等腰三角形的腰為半径，画弧交立轴于C，连接AC和BC，则等腰三角形ABC已移进了空间的特殊的家（由于证明CA与CB相等的过程并不为难，这里省笔且加以认定）.此言下之意为，基础三角形与顶角为42°的等腰三角形在水平面上同底为AB而其顶角点O与C则在立轴上进入了攀升排队.

（四）与以上之（三）的操作过程完全相同.因39°角也是特殊角，用尺规作图的方法在平面上预先画作一个等腰三角形，使其顶角D为39°，使其底边之长为AB.我们要将这个等腰三角形移进空间的特殊的家，此言下之意为，以上三个等腰三角形在水平面上同底为AB而顶角点D则与前面的两个顶点一样在立轴上进入了攀升排队.

（五）与以上之（四）的操作过程完全相同.因36°角也是特殊角，用尺规作图的方法在平面上预先画作一个等腰三角形，使其顶角E为36°，使其底边之长为AB.我们要将这个等腰三角形移进空间的特殊的家，此言下之意为，以上四个等腰三角形在水平面上同底为AB而顶角点E则与前面的几个顶点一样在立轴上进入了攀升排队.

（六）由于底边相等的等腰三角形顶角越小的其高越长，于是我们看到O，C，D，E在立轴上的位置一个比一个高.面对立轴上顶点之攀升，我们的思绪进入了一种特殊的数学想象，这种想象与摄像的原理不完全相同，其操作方法是：我们要把E到O之间的距离向下压缩，且要压缩到与C到O之间的距离一样长为止.在此一向下压缩的过程中，要理解自E以下的所有角点都在随势而下压，还要进一步理解所有下压的顶角点所对应的等腰三角形的腰也是在随势而缩短，且要缩短到符合于新位置的等腰三角形的腰长为止.在这种特别摄像的操控下，以36°为顶角的E点便压缩到了以42°为顶角的C点的位置.这句话的同义语就是通过特殊数学想象而压缩了的顶角E已变成了42°的顶角点.由于D和C的位置是处在E到O之间，知这二者都是随势而下压的顶角点，那么我们要问，经如此压缩后的D和C所对应的角度变为了多少呢？下面是本文的求解过程.endprint

（七）欲求D和C压缩后的顶角点变为了多少度，就必须求出D和C对应于压缩段的位置.为此我们要在水平轴上找一点F，使OF=OC，此找点使得本来在立轴上的OE在压缩之后成为水平轴上的O到F之间的一段距离.由之前的操作而知这段距离的端点F相当于原立轴上的42°角的顶点.由于O点是基础三角形的顶角点，于是知其对应于45°，由于在45°到42°的角顶点之间（即从O到F点之间）还有44°和43°这样的整数度顶角点存在，对此我们心中的数理共识是：既然水平轴上的段段及点点都是由压缩而来，那么它们与立轴上的三个攀升段即OC，CD，DE的段段和点点就一定是保持着对应的关系，由于三个攀升段的分界点都是整数度点，于是由对应关系知整数度点44°和43°是压缩后的三段未明位置的分界点.我们强调这结论是据不断二分法而知近旁的无穷2n等分角均为非整数度点而使然.为了简化整体叙述的繁杂，设第一、第二段的未明位置分界点为G，而对第二、第三段的设定和操作，则放在其后用同理的方式简述.为承接下文，特拟定如下用语：立轴上的OE是压缩前的全长，OC是压缩前的局部，水平轴上的OF是压缩后的全长，OG是压缩后的对应于OC的局部.根据影像缩放理念知：压缩前的局部/压缩前的全长=压缩后的对应局部/压缩后的全长.于是可得如下比例式：

数学上的缩放功能其实就是几何学中的比例，本文进行的这种特殊的影像压缩的操作正是基于此一数学理念而设计.在影像压缩的过程中，虽然已设定G是水平轴上的对应于44°的顶角点，但不知其具体位置之所在，而这是本文急于想要解决的问题.由于空间的相交两轴已夹出了一个平面，这使我们想到要在空间的这个平面上去构造出一个三角形，于是以被压缩段和压缩段为边的空间三角形OEF飘然而出，有此三角形存在，本文就有充分的条件来完成剩余的作图.

（八）在三角形OEF中，过OE边上的D点作EF的平行线交OF于H（即有DH∥EF），于是由平行线分线段成比例定理可得

由（4）而知H与G重合，此言下之意即为，我们已由平行线的画作而证得了H就是44°的顶角点.在同一操作理念下：过C作EF的平行线，设其交OF于I，则知I即为43°的顶角点（其证明过程与前相同而略）.在以上两顶角点的位置明了之后，我们的心中又在想着H和I对应于立轴的情形.现将释疑手段谨呈如下：以O为圆心，分别以OH和OI为半径画弧，设其分别交立轴于J和K，则知J和K即为H和I在立轴上的对应点，实际上这就是将水平轴按逆时针方向旋转90°而使F与C重合的情形.于是知夹在其间的两组对应点一一重合，此意即为J是顶角为44°的等腰三角形的顶角点、K是顶角为43°的等腰三角形的顶角点.如果我们不旋转水平轴，而是将基础三角形绕OA也按逆时钟方向旋转90°，那么此时的水平轴就成了新位置下的立轴，因新立轴上包涵了我们希望的所有解题的信息，知其已是身价百倍.由于这种新关系与前文的构思一脉相承，在我们设计思维里留下了相同的视觉，我感觉此变换角度看攀升的方案比“重合一说”更容易被人们理解和接受.总之，以上两方案都能达我们最终之目的.为习惯起见还是以有过信息补充的原立轴为准来完成画作.

（九）现在宣布顶角为44°和43°的两等腰三角形已名正言順地在空间直角坐标系中安了家，其顶角点亦理所当然地在立轴上适应着攀升排队.选定以空间等腰三角形JAB的腰为腰，以AB为底，在水平面上单独画作一个等腰三角形，则此等腰三角形的顶角即为44°.

（十）从水平面上的45°的角中用尺规作图的方法减去这个44°的角，则人们考虑了几个世纪的“1°”角便跃入眼帘.

有了眼前这个1°角的尺规作图，尺规作图的领域便开启了一片新的天地，此前很多无法攻克的尺规作图难题，在1°角的推出之下已不成问题.譬如尺规九等分圆周，我们只需将39°的角加上1°的角就得到40°的角，由于有9×40°=360°周角，这意味着尺规九等分圆周已得到解决.由此而知，但凡与1°角有关的圆周的等分，人们都可从此范例之中获得灵感，也正是由于1°角的尺规作图已摆在了我们的面前，进而知1°角的累加可以形成任意整数度角，于是本文就以此为题了.在撰写本文之后，我们的心得是：过去在平面上无法解决的尺规作图问题，也许大都可以从多一个维度的探索里得到解决.巧的是在本文之前我有一篇《圆周及弧的实用精确等分》的小论文就是基于此思考而偶得.因此，在尺规作图的领域里，我们有兴趣的朋友亦可多在三维空间进行详尽地观察，说不定哪天就会收获意外的惊喜.事实上我正在对一个也许是“真正的大课题”在用本文的这种思考方法打着腹稿，您要是能成功登上彼岸，且将您的思绪化成文字，我们则预先在此为您恭贺，努力吧！机遇在等待着有心参与的有缘人！endprint