基于综合能力培养的线性代数教学内容的改革

张兴刚+戴丹

【摘要】传统线性代数教学中存在的许多问题，主要来源之一是传统教学目标以及教学内容的不足.本文根据学生学习和发展的需要，确立了以综合能力培养为核心的教学目标.基于新的教学目标，从梳理基本知识体系、融入几何要素、引入数学软件、加强实际应用等方面对传统教学内容进行改革，探讨了这些改革措施的必要性和意义.

【关键词】能力素质；教学内容；线性代数

线性代数主要研究有限维、具有线性结构的数学对象，它为涉及多因素、多变量的许多问题提供了数学语言和解决问题的方法.同时，它也是进一步理解无限维、非线性等问题的基础.因此，从数学本身来看，线性代数是多元微积分、多元概率统计、微分几何等数学分支的基础.将数学用于自然科学以及人文社会的许多学科时，一般都会涉及多因素、多变量的问题，而计算机的发明和应用，使得线性代数成为解决大量实际问题的有效工具.于是，线性代数自然而然地成为理工、经管等许多非数学专业的一门重要的数学基础课，它不仅能为学习其他数学和专业课程提供必要的基础，也能在很大程度上提高学生的数学素养和能力.然而，社会的发展和教学理念的革新，使得传统的线性代数教学越来越显现出其弊端和不适应性.如何对传统线性代数教学进行合理、有效的改革，实现这门课程应有的培养目标，成为一个重要且紧迫的问题.

一、传统线性代数教学的问题

在传统的线性代数教学中，无论是教学内容还是教学方式，都存在着许多问题.例如，教学内容的代数“味道”浓厚，缺乏几何直观，这使得本来就比较抽象的线性代数更加抽象难懂；過于注重数学理论的教学，几乎没有对学生的实际应用、科学计算等方面的能力提出要求.这些问题使得即便是认真努力的学生，也往往只是掌握了基本的数学知识和具备了初步的解题能力；难以做到对各部分知识的融会贯通以及对蕴含于线性代数中数学思想的深入理解，也很缺乏几何直觉以及应用线性代数描述解决实际问题的能力.这些问题的产生主要来源于传统教学是以传授代数知识和培养解题技能为目标的.我们认为，传统的教学目标过于单一，它不仅不能很好地实现深入理解和掌握线性代数这一目标，还忽视了其他必要的能力的培养.教学就是在一定的教学理念和目标的指导下，教师综合考虑教学内容、学生的特点、教学环境等因素，以恰当的方式与学生交流互动、进行教学安排，有效促进学生素质和能力的提升，从而实现教学目标的过程.因此，教学改革中首先应该确立恰当的教学目标，以及与教学目标相对应的教学内容.

二、教学目标的设定

首先应该注意到，不能孤立地看待知识和能力，各种能力之间也有密切的关系.人们在知识的学习、消化、吸收、应用、发展的过程中形成了各种各样的能力，例如，理解能力、应用能力、创造能力，这些能力往往能够相互地激发和加强.对于非数学专业，学习线性代数的主要目的不是深入探究线性代数的逻辑体系、构造定理并对定理进行证明；而是领悟线性代数中蕴含的数学思想，理解掌握线性代数中重要的概念、概念间的内在联系、重要的问题及解决问题的方法，并具备一定程度的将线性代数用于描述解决实际问题的能力；信息化时代也要求学生具备初步的科学计算能力.总的来说，应该以有效地培养学生的理解掌握、实际应用、科学计算等方面的综合能力为线性代数的培养目标.其中，理解掌握线性代数知识体系的能力是核心，它可看成是由抽象概括、记忆与表示、数形结合、推理计算等多种能力复合而成的.

三、教学内容的改革

显然，教学内容必须切实反映教学目标，否则教学目标就是空洞的.此外，教学内容的设定及组织形式还应综合考虑课程的知识体系结构、教学学时、学生的知识基础等因素.为了实现新的教学目标，可以从以下几个方面对传统教学内容进行改革.

（一）梳理知识体系，引入过渡性内容，减小理解的难度

线性代数的概念、定理众多，看似零散繁杂，其实各部分之间联系紧密.按照恰当的方式梳理知识体系，并向学生展示相应的框架结构，可以有效地提高学生的理解层次.例如，可将基本知识体系分为两大部分：① 以矩阵为核心的代数部分；② 以线性空间为核心的几何部分.通过详细分析这两部分包含哪些内容、它们之间有什么关系，可以加强学生对线性代数的整体概貌以及“空间为体，矩阵为用”这一观念的认识.另外，传统教学内容的难度梯度过大，不仅造成学生理解上的困难，还容易导致学习兴趣和主动性的丧失.通过引入过渡性的教学内容可有效地解决这个问题.例如，增加三维空间中向量代数及几何意义的讨论，按照从二维、三维向量空间，到n维向量空间Rn，再到一般的向量空间，最后到线性空间的顺序建立起抽象空间的概念.

（二）融入几何要素

几何直观对学习数学的许多知识都非常重要，试想如果没有数轴、没有复数的几何意义，我们对于实数、复数的理解就不会太深刻.应该把几何要素作为教学的基本内容，使之渗透到基本知识体系的各部分.由于二维、三维空间中的几何对象以及对象间的关系比较容易感知到，因此通过绘图等手段不难建立低维空间的几何图景.线性代数中的各种基本概念，在一般情况下会涉及高维的情形，无法找到直接的几何对应；但是，低维空间的几何图景可以迁移到高维的情形.要有效地实现几何图景的迁移，需要把几何意义、几何语言、几何图形等要素融入线性代数的许多概念和问题的讨论中.我们发现，线性代数中的大部分概念和重要的结果都可以找到恰当的几何图景.

（三）引入数学软件

随着信息技术的发展，将数学、计算机等知识结合起来解决工程、技术、科研等方面的问题越来越普遍，这也使得科学计算能力应该成为许多专业的基本能力之一.由于大量的科学计算问题与线性代数密切相关，因此有必要在线性代数的教学中适当地引入数学软件（例如，Matlab）的运用.这不仅可以作为科学计算的启蒙，激发学生学习和应用线性代数的兴趣，还使得学生有更多精力集中于数学思想的感悟和知识结构的理解.当然，适当的手算对于学生来说仍是非常必要的.可以用少量的学时介绍数学软件的基础知识（例如，系统环境、矩阵运算、基本绘图命令等部分），结合例题、习题、数学实验等方式提升学生运用数学软件解决线性代数问题的能力，这种能力对于学生运用线性代数解决实际问题非常重要.

（四）加强线性代数与实际问题的联系

在线性代数的教学中引入恰当的实际问题，不仅能加深和巩固有关数学知识的理解，提升应用线性代数描述和解决实际问题的能力；还能使学生真正体会到线性代数的重要性，生动有趣的应用实例也能进一步激发学生学习的兴趣.可以基于实际问题的讨论引出相关的数学概念和问题，加深学生对数学知识的理解；也可以在各个知识板块当中引入综合性的应用实例或项目，通过分析实际问题、建立数学模型、求解模型、讨论结果这一过程的学习和训练，提高学生的综合能力.对于实际问题的选择，需要注意以下一些方面：① 所引入的实际问题最好是不需要太多专业背景就可以理解的问题，例如，可以考虑线性电路、化学方程式配平、种群的演化等问题，这些问题用一般的常识或中学的知识就可以理解；② 设置适量的需要将线性代数、数学软件结合起来才能解决的实际问题，这会让学生真正感受到“数学+专业知识+计算机”这种“现代化”的解决问题的方式及其优点.

四、结束语

教学是一项复杂程度不小的“系统工程”，需要将教学目标、教学内容、内容的组织形式、教学手段、考核方式等方面有机地结合起来，才能取得良好的教学效果.本文提出的新目标和新内容，为整个教学改革奠定了基础.显然，只有采取合理的教学方式以及考核监督机制，才能有效地实现学生综合能力的培养.

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