从几何特征入手，妙破解几把关题

郝琳

[摘  要] 圆锥曲线是平面解析几何的重要部分，这部分内容是高中数学中重要的内容，也一直是高考的重点、热点，也是难点. 解析几何首先是“几何”，然后才是解析，解析几何中的“几何性质”与“几何特征”往往是解决问题、突破思维障碍的关键.

[关键词] 高中数学;圆锥曲线;高考;变式教学

在解析几何创立之前，几何与代数是彼此独立的两个分支. 解析几何的建立第一次实现了几何方法与代数方法的结合，使数形统一. 解析几何首先是“几何”，然后才是解析，故解析几何中的“几何性质”与“几何特征”往往是解决问题、突破思维障碍的关键. 当然做解析几何题必须养成先画图的习惯，科学而准确的运算方法则是解决解析几何问题的又一个关键.

圆锥曲线是平面解析几何的重要部分，这部分内容是高中数学中重要的内容，也一直是高考的重点、热点，也是难点. 以2016年全国卷Ⅰ理科第20题为例，说说在高考中圆锥曲线的问题.

？摇？摇设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x軸不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程;

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

考查内容是圆锥曲线的有关知识. 其中，第（Ⅰ）问考查圆锥曲线的定义. 其实，在2013年全国卷Ⅰ理科第20题的第（Ⅰ）问中也是利用圆锥曲线的定义来求解轨迹方程. 它们都是出自人民教育出版社选修2-1课本第49页第7题，所以我们在教学中一定要重视课本，熟练掌握每一道习题的解法.

分析：根据要证EA+EB为定值和已知A，B为关于原点对称的两个定点，猜测轨迹为椭圆，其中隐含条件是半径为定值，所以往半径靠拢，求出a和c，写出椭圆的标准方程. 解答本题的关键点为椭圆的定义，注意（-1，0）和（1，0）两个关键点的提示作用. 学生解答过程中的难点是：一是第二问中能否把四边形的面积转化为对角线乘积的一半;二是求面积的取值范围能否转化成函数的最值问题.易错点：一是第一问中曲线和方程的关系找不准，不能排除一些不符合题意的点;二是设直线方程时未考虑斜率不存在的情况;三是弦长公式记不住.

（Ⅰ）解法一：利用两直线平行，同位角相等先得出角的关系，再由角的关系得出EB=ED，进而得出EA+EB为定值4，大于两个定点之间的距离2，所以轨迹为椭圆，a=2，c=1，写出轨迹方程，其中不符合题意的点一定要去掉.

因为AD=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

所以EB=ED，故EA+EB=EA+ED=AD.

根据此题，可以做以下变式.

变式1：题设条件不变，把过B作AC的平行线交AD于点E改为过B作AD的平行线交AC于点E，求解问题不变.

变式2：把B点挪到圆A的外面，缩小圆的半径.

设圆x2+2x+y2=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD的延长线或其反向延长线于点E.

（Ⅰ）证明EA？摇-EB？摇为定值，并写出点E的轨迹方程;

（Ⅱ）（同上）.