有效变式，发展学生的数学思维

王树峰

[摘  要] 高中数学教学要重视学生思维的发展. 本文立足于数学教学实践，通过问题的变式教学，针对性地发展学生思维的深刻性、发展性、灵活性和创造性.

[关键词] 高中数学;变式教学;数学思维

数学的本质其实就是一种思维，因此我们的数学课堂应该重视学生数学思维的培养与发展，课程标准也明确将思维能力的发展设定为基本的教学目标. 笔者教学过程中，积极开展变式教学，力争让学生思维更具发展性、深刻性、灵活性以及创造性，为了达到上述目的，我们也要优化我们的变式教学，让学生从中感受到数学问题的探索性和拓展性，这样的教学才能更加有效地把握学生的心弦，从而让我们的课堂更加富有生机与活力.

通过变式突出问题本质，发展学生思维的深刻性

解题是学生学习数学的基本方式，也是高考复习的重要活动. 当前高中数学的解题教学存在的最大问题是：教师忽视学生解题之后的反思过程，很少对问题进行变式和引申处理，以至于学生都不清楚问题是怎样编制而成的，他们也不清楚问题还有怎样一些变化和发展. 对此，笔者认为，我们要在已有问题的基础上多角度、多层次地进行变化，通过变化和引申突出问题的本质，培养学生思考和分析问题的能力.

这个问题实际上是在研究函数的值域，在处理过程中，我们也可以通过求导，明确函数的单调性进而完成值域的确定. 在实际教学中，我们可以通过变式处理，推动学生的思想向更加深入的领域发展.

上述问题的变式处理，引导学生经历了数学化与再创造的过程，由此让学生深刻领会到数学问题的实质，有效促进了学生数学思维的发展.

在变式中揭示问题联系，提升学生思维的发展性

变式教学的一大重要作用是可以向学生展示问题的演变过程，这样学生将从中发现不同问题之间的关联，由此学生的思维将更具发展性，当他们在以后的学习过程中遇到一些陌生问题时，他们也能对其进行适当的调整和处理，进而促成问题的简化解决.

以上问题的变换都对条件和形式进行了调整，在具体问题处理时需要学生能够以更加开放的视野、更加变通的理念来探索问题的解决思路，我们在教学中要引导学生独立进行思考，并深入展开研究，要让学生在对问题进行分析和对比的过程中不仅能发现问题的变化，更要看到问题的联系，这样才能让学生的思维能力在分析鉴别、解题反思中获得提升和优化.

通过变式展示问题多样化，提升学生思维的灵活性

思维僵化、操作机械是学生处理数学问题的最大缺陷，这种情况其实也是盲目进行题海训练的结果. 在教学过程中，我们通过变式处理向学生展示问题的多样化，由此来训练学生思维的灵活性，让学生面对问题时能够有条不紊地灵活应对，进而让学生的问题解决更加灵活而高效.

例3：求函数y=3x-x3，x∈（0，+∞）的最大值.

解析：本题的处理可用求导来进行. y′=3-3x2=3（1-x）（1+x），当x∈（0，1），有y′>0，當x∈（1，+∞），有y′<0，因此ymax=f（1）=2.

变式1：求证：nx-xn≤n-1，其中x∈（0，+∞），且n∈N*.

本变式的处理就是将不等式的左侧视为一个函数，然后利用导数的知识求解对应区间的最大值.

变式2：已知x，y∈R+，且m+n=1，mn<0，m，n∈Z，求证：xn·ym≥nx+my.

课改理念指引下的数学课堂非常强调对习题和例题的功能进行深度挖掘，这样的操作不仅能让学生以更加主动的姿态进行学习，同时学生也不会再停留于简单而肤浅的互动上. 我们希望变式处理之后的例题能够让学生在课堂上发挥最大程度的思维碰撞，而这体现在学生上课过程的聚精会神和炯炯有神上，体现在解决问题时的冷静与沉思上，体现在问题解决之后的总结和反思上.

例4：△ABC的三个内角都不是直角，求证：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.

通过以上两组问题的比较，我们可以发现：tanα+tanβ+tanγ=tanα·tanβ·tanγ成立的充要条件为：α+β+γ=kπ，k∈Z，由此可以引申为很多丰富的变式.

变式5：求证：3+tan（A+60°）+tan（A-60°）+tanAtan（A+60°）+tanAtan（A-60°）=0.

在组织数学例题的教学过程中，教师会引导学生从中发现一般化的解题规律，引导学生关注数学问题分析的通性与通法. 但是在教学中，我们同样要让学生明确，通性与通法都是从特殊例题和习题中总结出来的，面对不同的问题，我们不能生搬硬套现成的结论，而要指导他们对问题进行重新的分析和处理，让学生在具体的操作过程中领会到方法上一致性或差异性. 这也就是我们进行变式教学最根本的目的.

引导学生自主变式，培养学生思维的创造性

变式教学的主体依然是学生，我们在教学中要引导学生自主对问题进行变式处理，让学生以命题者的身份参与解题教学中，这样的角色互换能够帮助学生深刻揣摩命题老师的意图，而且换个角度来研究问题还有助于学生对数学知识产生更加深刻而全面的认识，学生的创造性思维也将由此而获得发展.

有学生在问题分析的过程中指出，可以将上题中的四面体转化为一个棱长等于1的正方形，这样问题就演变为求解正方体的外接球表面积，处理将更加简单. 学生这样的处理不仅简化了问题处理，同时也给予了笔者进行变式教学的灵感，当然笔者没有急于将变式问题说出来，而是鼓励学生自己参与问题的变式处理. 在笔者的启发下，有学生设计出如下一些问题.

变式2：现有四面体ABCD，AB=CD，AC=BD，AD=BC，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.

新课程改革强调让学生深入参与每一个教学环节，因此我们引导学生参与变式问题的设计，或是结合学生所提出的想法来进行变式问题的设计，这将对学生的思维产生更加深入的激发效果，学生的思维能力也将因此而得到提升.

最后针对变式教学，我们还需关注以下几点：

（1）我们的变式教学应该结合学生的具体情况采用与之适应的教学策略;

（2）变式教学应该控制容量，我们必须承认很多数学问题有着极大的延展空间，但是如果超过一定容量，则反而不易显示其效果;

（3）教材中的例题和高考试题都具有一定的代表意义，教师依托这些问题展开变式教学有助于学生摆脱题海战术的困扰，达到事半功倍的教学效果;

（4）求异和求变可以增强学生知识的迁移能力，我们要引导学生在反思中有效积累，并借此获得提升.