由繁至简顺势而为

我们知道，试卷的区分度往往体现在几道把关题，如何把“压轴”戏唱好，一直是学生、教师关注的焦点、研究的重点.今年，南通填空压轴题一改原有风貌，变从函数角度看问题为双曲线与方程及几何知识的融合.图形简单明了，有一定区分度，突破路径较多.下面从不同视角来解析该题，提供研讨.

1考题呈现

图1（2017年南通卷第18题）如图1，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k>0，x>0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A（5，12），交边BC于点D，且AB=DB，求点D坐标.

2多解思考

视角1点的坐标转换为线段的长

图2求点D的坐标，常规思路转换为求线段的长即可.如图2.过点D作EF垂直x轴，交x轴、AB于点E、F.

直接未知数：假设D（m，60m），则F（m，12），所以AF=m-5，DF=12-60m，在Rt△BDF中，sin∠ABD=1213，所以DB=13-65m.在Rt△CDE中，tan∠DCE=125，

所以CE=25m.建立等式m-25m=13-65m，可求m=8，所以D（8，152）.

间接未知数：设AB=DB=a，在Rt△DBF中，BF=513a，DF=1213a，所以D（5+813a，12-1213a）.

（5+813a）（12-1213a）=60，可求a=398，所以D（8，152）.

视角2点在双曲线与直线上

我们知道，点D是双曲线与直线AE的交点，求出直线AD解析式的“k”值即可.如图3.作BF⊥AD，垂足为F，所以∠ABF=∠FBD，因为sin∠ABD=1213，构造如图4的半角模型，所以tan∠ABF=tan∠FBD=23，则tan∠BAF=32，所以直线AE可设为y=-32x+b，把点A（5，12）代入，可得直线AE的解析式：y=-32x+392，点D即为直线AE与双曲线的交点坐标.可求D（8，152）.

图3图4视角3等线段的联想

通过视角2：直线AE解析式，可发现点E坐标为（13，0），联想到等腰三角形.

①如图5.连接AD并且延长交x轴于点E，由已知条件中AB=DB，结合四边形OABC为平行四边形，可以证明△AOE为等腰三角形，所以AO=OE，可求点E（13，0），进而求出直线AE的解析式：y=-32x+392，点D即为直线AE与双曲线的交点坐标，可求得D（8，152）.

图5图6②由等线段联想菱形，过点D作DE∥AB（如图6），则四边形AEDB为菱形，假设D（m，n），则E（512n，n），所以AB=BD=AB=m-512n，S菱形AEDB=1213（m-512n）2=（12-n）（m-512n），化简可得12m-5n=13（12-n），又n=60m，化简得m2-13m+40=0，可求m1=5（舍）；m2=8，所以D（8，152）.

3解后回顾

3.1已知条件的运用，决定了解题的方向

上面的三个视角可以发现，对于条件AB=DB，视角1①作为建立方程的依据；②表示点D坐标的桥梁.视角2.由AB=DB联想等腰三角形，利用性质构造顶角的半角，求出三角函数值.视角3.通过等腰三角形及平行线，形成新的等腰三角形，找出关键点的坐标.对比三种视角，视角3的解答简洁明了，事半功倍.说明在平时的教学过程中，教会学生分析问题路径比解题过程更重要，需要鼓励学生在自我建构的过程中，善于联想，善于对比，善于挖掘.只有这样，我们的学生才会透过现象看本质，寻求出最佳的解题路径.

3.2基本图形的识别，发现了解题的灵魂

对于三种视角，也许命题人命题意图的落脚点是视角3.此法细细揣摩，实际上还是角平分线+平行线的基本图形.此发现也就决定了解题的效率.同时也给予教师启示，在平时教学中，应该善于引导学生进行相应基本图形积累.只有这样，我们的学生才能在一些图形中，敏感地识别出基本图形，进而顺利的解决问题.当然，也许也需注意基本图形的变式，真正让学生举一反三、触类旁空.

4变式改编

结合自己的解题，给出该问题的几个改编，以期我们的共同思考.

图7改编1：如图7，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k>0，x>0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A（5，12），交边BC于点D，且AB=AD，求点D坐标.

改编2：如图7，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k>0，x>0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A（5，12），交边BC于点D，且AD⊥BD，求点D坐标.

改编3：如图7，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k>0，x>0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A（5，12），交边BC于点D，且D是线段BC的三等分点，求点D坐标.

改编4：如图7，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k>0，x>0）的图象经过平行四边形OABC的顶点A（5，12），交边BC于点D，且AD是∠OAB平分线，求点D坐標.

5教学思考

5.1已知条件的畅想

（1）已知平行四边形的顶点A（5，12），可以获取哪些结论？

（2）结合问题（1）得到的相关结论，对于条件AB=DB，你准备如何运用？

说明：通过问题（1）可以得到线段OA、BC的长；反比例函数的解析式；∠COA、∠ABD的三角函数值为条件AB=DB使用作了很好的铺垫.

5.2根据问题觅思路

（1）求点D的坐标，你有哪些思路？

说明：①可以先让学生利用常规的思路解决，这里涉及设直接未知数还是间接未知数问题，两个角度一起进行，比较一下哪种更便捷，强调AB=DB的作用.②在常规思路解决之后，教师可以引导，若连接AD，△ABD是哪种特殊三角形？点D可以也可看着直线AD与双曲线的交点坐标，关键求直线AD的解析式，由于已知点A坐标，只要求出∠BAD的正切值（已知∠ABD的三角函数值，构造直角三角形，可以求出∠ABD的半角三角函数值），即为视角2.③通过求出直线AD的解析式，让学生求出与x轴的交点坐标，又有什么发现，如此能否为我们提供新的思考方向，生成视角3解法.

5.3解法对比有感悟

解题教学，不能仅仅满足让学生掌握几种解题方法，更重要的是着眼于学生的进一步发展，通过各种方法对比，教会学生如何挖掘试题条件蕴含的内涵，学会看准目标，优化解题策略.当然，过程体会与循序而导对于学生的思维品质的提高、解法自然生成也有着决定性的作用.

5.4问题改编得强化

解题教学不是教学生简单的模仿，因此最后环节，通过对条件AB=DB的改变，真正让学生面对不同的条件，学会如何应对，丰富认知，形成技能.如改编1.认识到直线AD与x轴的交点在线段OA的垂直平分线上；改编2.通过已知的垂直关系，发现OA⊥AD；改编3.分类思想的渗透，构造相似的基本图形，也可以进一步推广到n等分点；改编4.与原题的实质是一致的.变与不变都是相对的，我们在关注解法的同时，更应让学生经历“如何想到这样解”的思路历程.这样的话，解题的思想方法才会得到较充分的落实.

作者简介张浩杰，中学高级教师，南通市数学骨干教师，南通市优课评比一等奖获得者，南通市优秀教育工作者.主持市课题1项，参与国家课题2项，发表论文15篇.endprint