解法无误错在题读刊有惑贵在思

1文章问题起源

文章《四种解法中到底谁对谁错》[1]对一道“看似简单却引起激烈争论的近似值计算问题”，作者王淼生、吴卫军老师的课题组团队老师提出了四种算法，由于计算结果不一样，老师各抒己见，谁也说服不了谁.为此作者提出了自己对数学中近似计算的观点，读后受益匪浅，也想谈谈一点不同看法，与作者、读者交流笔者的理解与思考.

2原文观点摘要

为方便读者阅读，先将文章中提到的2016年贵州省黔南州的中考题及主要观点摘录：

图1为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划出如图1所示的停车位，已知每个车位都是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出个这样的停车位.（取2=1.4，结果保留整数）

文章中，作者提供了课题组团队老师的四种解法，其前部分都是一样的：

图2如图2，因为CE=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°，所以BE=CE=2，BD=DE-BE=3，在直角三角形BCE中，BC=ECsin45°=22，在直角三角形ABD中，AB=BD·sin45°=322，设至多可划x个车位，依题意可列不等式：

22x+322≤56.（1）

争论的焦点在近似计算的流程上：

第一种意见是：

将2=1.4直接代入（1），化简整理得x≤19.25，因为x是正整数，所以x的最大值为19.

第二种意见是：

对（1）化简整理：x≤142-34，（2）

再将2=1.4代入（2），化简整理得x≤18.85，因为x是正整数，所以x的最大值为18.

由于代入的顺序不同，导致近似计算的结果不一样，引起了争议.

第一种意见是命题专家组给出的解答，文章作者认为是正确的；

第二种意见是团队老师给出的解答，由于计算结果与事实有出入，作者认为是错误的，并“追根溯源”，说明错误的原因在：解答步骤中的“2×2=2”里面的“2”与最后代入的“2=1.4”中的“2”是不等价的！此处“2×2=2”中的“2”是常规意义下的无理数，而“2=1.4”中的“2”则是一个有理数，且为1.4，这违背了数学统一性即前后一致的原则！这才是错误的根本原因所在！因此可以断定解法2是错误的！然后“正本清源”，认为命题专家给出的解答是正确的，尽管其解答过程看似不合“情理”.

3理解释惑

看了文章中的“追根溯源”、“正本清源”，糊涂了，看似不合“情理”的解答过程反而对，而“合情合理”的解答过程反而错.果真如此，那今后教学中该如何操作呢？难怪团队老师谁也说服不了谁.问题到底出在哪儿呢？

3.1首先用计算机真实模拟操作一次设计方案，验证最终结果：

按1∶200的比例在几何画板中精确作图，如图3.

图3图形直观显示结果是该路段最多可以划出19个这样的停车位，因此命题专家给出的答案没有错.注意，笔者说的是命题专家给出的答案没有错.

3.2计算机模拟操作的结果证实“第二种意见下”的答案是错的！然而对照数学中近似计算的基本原则：近似计算为避免一开始代入进行近似计算导致运算量过大，和二次四舍五入导致结果误差大，一般是先化简、再计算、最后取近似值[4].反观第二种意见下，近似计算的解答过程是符合近似计算的运算规则，严格遵循教学要求规范执行，合情合理，理应正确，但它的计算结果与事实有出入，这是为什么呢？细读文章中的四种解法（其实是一种），不同之处是求不等式中x的近似值时，在计算的流程上产生了分歧.计算流程的不同对最终结论应该没有影响，因为不管是哪一种计算流程，它影响的仅仅是解答的“繁与简”！因此错误不在计算程序上，而是题目中的附加条件“2=1.4”在2的取值精度上有问题.

对于解法1、3，实质是计算x≤56-32222中的56-32222的近似值，用计算器精确计算：56-32222≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效数字）计算：

56-32222≈19.0519801980…；对于解法2、4，实质是计算x≤142-34中的142-34的近似值，用计算器精确计算：142-34≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效数字）计算：142-34≈19.046.

从计算结果可以看出，无论是精确到0.01：x≤19.05；或者取整数：x≤19.四种解法的结果都是一样的，答案也是一致的，x的最大值是19.

再看按题目附加条件直接代入計算：

56-32222=56-32×1.42×1.4=19.25；142-34=14×1.4-0.75=18.85.

不难发现：出现两种不同的近似计算结果，根源在题目的附加条件“取2=1.4”，因为1.4×1.4=1.96，这与“2×2=2”或“1.414×1.414=1.999396”，2的取值精度不同引起误差过大，导致结果不一！这是造成最终错误的根源所在.

3.3对于近似计算，可以允许有一定的误差，但误差不能超出规定的范围，因此在近似计算时，要求参与运算的近似数，要比已知数据、最后的结果中所含的小数位数多保留一位.本题中要求的“142-34”，其中分数34=0.75，精确到0.01，因此2的近似值必须精确到0.001，即取“2≈1.414”，不能取“2=1.4”！endprint

4教学反思感悟

4.1命题不可随意！本题的考查目标也是本题的最大亮点是运用数学知识构建数学模型解决生活的问题，是诠释核心素养、优化思维品质的经典范例，不是在近似计算的程序上设计障碍为难考生，估计命题专家也是这么想的，添加条件“取2=1.4”是从简化运算量的角度考虑的，但未曾想到两种运算程序会导致结果不一，这是命题专家的一个失误！命题工作是一项高风险的工作，在命题过程中偶尔出点错误也是难以避免的，但命题无科学性错误是底线，必须慎之又慎[2].

4.2教师要有质疑的意识[3]！两种不同的近似计算流程，导致两种不同的结果，在反思解答过程没有问题时，为何不敢质疑专家出现失误、质疑题目条件的问题？文章中牵强附会时提出“解答步骤中的2×2=2里面的2是常规意义下的无理数，而2=1.4中的2则是一个有理数，且为1.4，这违背了数学统一性即前后一致的原则！”笔者认为是难以自圆其说的，也就不可避免地引起课题组的老师非议.题目中的数值2是在实际问题中自然产生的，在研究实际问题的过程中我们本应该根据实际问题的需要取2的近似值，而不是人为地规定2=1.4，甚至说2=1.4中的2是一个有理数且为1.4，说2=1.4中的2是一个有理数且为1.4，这才是违背了数学统一性原则，2是在实际问题中自然产生的无理数，它不因命题者的附加限制条件而改变其无理数的身份！

4.3关于计算，笔者认为学生的计算能力需要培养，需要强化训练，但不是用繁琐的计算或人为地设置障碍来刁难学生，“繁、难，无技术含量的重复练习”只会让学生对数学望而生畏、继而讨厌数学，教师关键是让学生明白其算理，数学的学习，关键在掌握数学的思想、方法[4].2≈1.4或2≈1.414，目的是实际问题中近似计算的需要，它应该根据实际问题决定其精确度要求，而不是由主观臆断，作者为证明自己的观点正确，在文章中又例举案例2，但案例2的本质是考查计算机计算程序的近似计算问题，本意是让电脑机械操作的程序题，考查目的是让学生了解电脑的操作流程，而案例1的建立数学模型解决实际问题的，两者背景不同，考查目标不一，它们有本质的区别！我们不要做学生在学校里从老师那儿学会讨厌数学的“刽子手”.

4.4关于“近似计算问题”，在现代社会的生产生活实践、科学研究与经济交往中，人们不可避免地要和各种各样的数据打交道，由于各种各样的原因，这些数据有时并不是所描述对象的准确值，只是近似地刻画所描述的对象，这种数叫做近似数或近似值.随着时代的发展，对于近似计算的问题，以前是“人的笔算”，而现在全部由“计算工具——计算机”代替，数学运算已经成为一种“机械思维活动”，为根据解决实际问题的需要，我们可以借助机器，按照既定的程序反复操作而获得需要的结果.因此我们需要近似计算，但要求与过去不同，我们必须适应时代的发展，把科学技术领域的复杂计算交由“计算工具——计算机”处理，把教学的重点转移到引导学生关注运算的道理！正因为如此，新的课标对运算能力的要求为“正确地从事运算”，而弱化了对近似计算的要求.

4.5事实胜于雄辩！对于生活中的实际问题，最好也是最简单的说服方法是让事实说话.例如在概率学中有一个经典的案例，叫“蒙蒂·霍尔问题”，因为最后的结论与常人头脑中的固有认识不一致，大家众说纷纭，哈佛大学的概率学权威Diaconis教授接受电视台的邀请解说时，他的做法是在台上当场邀请观众一起进行实验.Diaconis教授解说：概率的判断是依靠大量实验才获得的[5].本题课题组团队老师各抒己见，谁也说服不了谁，最有说服力的是实际试验，试验结果会告诉你最终的结果是谁对谁错！

参考文献

[1]王淼生，吴卫军.四種解法中到底谁对谁错[J].中学数学杂志，2017（8）：48-50.

[2]崔恒刘.杜绝“拿来主义”，改编推进发展[J].中学数学（下），2017（6）：93-95.

[3]崔恒刘.读刊需入刊改编须谨慎[J].中学数学教学参考（中旬），2017（6）：64-65.

[4]崔恒刘.网络上有关“近似计算规定”的争鸣[J].中小学数学（初中），2014（1-2）：77-77.

[5]崔恒刘.蒙蒂·霍尔问题的认识及思考[J].中学数学（下），2016（9）：81-83.endprint