高立意宽视角促发展

张克玉+邓祥

【摘要】通过对一节省优课设计过程的展示与分析，说明教学设计应考虑的因素及其相互关系：明确的教学目标决定了教学素材的选取与问题角度的设计，在此基础上，结合学生情况分析，完成教学过程设计.

【关键词】教学目标教学素材问题角度教学过程

2016年12月，邓祥老师作为参赛选手参加了安徽省初中数学青年教师课堂教学评比观摩活动.本次评比观摩活动，省教科院提前指定了6个候选课题，由参赛选手在比赛前一天临时抽签决定上课课题.对于这种提前给定候选课题的比赛，不仅考查参赛选手的实力，也是对其指导团队水平的考量.为此，我们对每个候选课题组织了交流研讨.邓祥老师抽到的课题是：一次方程（组）解决问题（自己组织教学内容）.比赛现场的评委及观摩教师均对本节课的教学设计给予较高评价，并获得省一等奖（小组第二名）的好成绩.现将部分教学设计内容以及设计过程中的思考整理成文，旨在交流分享.

1教學设计简录

活动1：复习旧知

让学生回顾列方程（组）解应用题的一般步骤；

活动2：引入课题

环节1呈现生活中的排队图片；环节2（教师引语）服务机构在提供服务前常有一部分人在排队等候，顾客在办理业务及离开的过程中，又有新的顾客在后排队.在几个窗口同时开放的情况下，每个窗口排队的人数、窗口服务的速度并不一致.作为顾客，常考虑选择排队的窗口以减少排队时间；作为服务机构，常根据自身的人力资源及顾客可承受的等候时间，考虑安排合适的窗口数，以此引出课题：一次方程（组）的应用——生活中的排队问题.

设计说明：通过选取贴近学生现实生活的素材有助于激发学生的学习兴趣，并体现数学与生活的联系；教师的引语，一方面暗含了排队问题中的有关量：已有排队人数、离开人数、新增排队人数，另一方面也指出了本节课将要研究的方向：顾客选择窗口、服务机构安排窗口数.

活动3：新课讲解

问题1小李到食堂买饭，看到食堂只开了一个窗口，且前面已有20人在排队，小李排好队并观察了2分钟，发现该窗口每分种有2人买饭离开队伍，但同时每分钟又新增1人排队.

（1）如果小李继续排队，临到小李买饭时，他已经等了多少分钟？

（2）小李观察了2分钟时，突然发现饭卡忘记带了，匆忙离队，4分钟后再次回到食堂同一窗口后排队.他要再等几分钟，才能轮到他买饭？

教学预设学生先独立思考，并尝试作分析讲解.对于第（2）小题，引导学生可从先排队等候的2分钟里人员变化、离开又返回的4分钟里人员变化的角度去思考；也可从他第二次排队时，总共耽误的6分钟里人员变化的角度去思考.

设计说明排队是个动态的过程，通过此问题既让学生体会排队的动态过程，从而逐步将生活现实延伸到排队问题的数学本质，也使得问题由浅入深，能保持继续学习和探究的欲望.

问题2第二天，小李又到食堂买饭，看到食堂开了A、B两个窗口，且两窗口前排队的人一样多，于是就站在A队伍后面.过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买饭离开；B窗口每分钟有6人买饭离开，且B窗口队伍后面每分钟增加5人，此时小李迅速从A队伍转移到B窗口后面重新排队，结果比继续在A窗口排队提前30秒买到饭.求小李开始排队时，已有多少人在排队？

教学预设学生先独立思考，并尝试作分析讲解；教师需引导学生抓住此问题解决的关键点：能从“结果比继续在A窗口排队提前30秒买到饭”中提炼出相等关系，即：继续在A窗口排队用时-到B窗口排队用时=12分钟.

设计说明此为本节课教学所选排队问题的第1个角度，此问题借助一元一次方程便可解决.通过此问题的解决，也让学生进一步感受排队中有关量的变化.由于学生没有学习不等式的内容，因此还无法设置排队的队列选择问题.

问题3某车站在检票前就有一部分人在排队等候，检票后每分钟来的人数一样多.从开始检票到等候检票的旅客全部离开，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟.要能用10分钟完成全体旅客的检票工作，那么车站需同时开放几个检票口（假设每个检票口的工作效率相同）？

教学预设（1）学生先独立思考；（2）教师逐步引导：①题中影响检票口人数涉及哪几个因素？②10分钟完成全体旅客的检票工作，其数学本质是什么？以此引导学生能找到问题的突破口：原有人数+10分钟新增加人数=能完成的检票总人数（每个检票口每分钟检票人数×检票口数×10分钟）；（3）教师再引导：上述关系式中，涉及哪几个量？要求哪个量？还有的几个量如何从条件中获取？试试看；（4）学生设未知数，列出方程组后，会发现方程个数少于未知数个数，再引导学生用含一个字母的代数式表示另两个字母，使问题最终求解.（5）在此问题解决中，可能会有学生提出疑问“单位时间内新增旅客数，因为检票口数的变化应该不同，例如开设5个检票口时，每个检票口每分钟新增人数与开设6个检票口时每分钟新增人数不应一致，如此问题将无法解决”，学生的疑问是有道理的.对此，教师可这样给予说明：数学源于生活，又是将生活问题的高度提炼与概括，并对问题进行必要的简化.因此我们可以将问题简化为：在检票前所有旅客等候在大厅，检票时旅客根据检票口数及检票的进度进行排队，从而使得每个检票口单位时间内的新增人数相同.

设计说明此为本节课教学所选排队问题的第2个角度，对7年级的学生比较困难，需要教师在逐步引导过程中，让学生抓住其数学本质.

问题4（建立模型）某服务机构在提供服务前已有a人排队等候，开始服务后每个单位时间新增顾客数为b，从开始服务到顾客全部离开，若同时开x个窗口且每个窗口工作效率（单位时间内完成的工作量）均为y，共需z个单位时间.请写出a，b，x，y，z应满足的关系式.

设计说明从问题1—4中逐步增加未知量的个数，并最终建立模型，这样使问题由简单到复杂、有具体到抽象，既符合学生认知规律，也让学生在思考中获得不同程度的感悟，从而得到不同程度地发展.模型的建立，也深化了对问题的认知.endprint

活动4：巩固新知（问题推广）

有一水池，池底有泉水不断匀速涌出，要想把水池水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需要多少小时？

教学预设学生独立思考，教师视情再给予引导：①6台抽水机抽干的数学本质是什么？②问题中涉及哪几个量？（原来有水的量；单位时间内流出的水量；单位时间内抽出的水量等）；最后再分析讲解，进一步加强对所学内容的巩固.

活动5：课堂小结

教学预设引导学生回顾本节课的学习过程，能抓住有关问题的数学本质，找到合适的相等关系，从而构建方程.最后教师就生活与数学的关系略作说明，并引导学生关注生活，能从生活素材中提炼出数学问题.

活动6：作业布置

思考题由于天气逐渐变冷，牧场上的草因枯萎使得每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天.那么可供11头牛吃几天？

设计说明前面两个问题涉及到的两个量，其中一个将会导致总量减少（排队后人员离开、水被抽出），另一个将会导致总量增加（有人继续排队，水继续涌出）.本題中的两个量（枯萎的草、牛吃掉的草）都会导致总量减少，因而还需要学生在理解的基础上进行运用，以避免学生的应用进行简单地模仿.

2设计过程的思考

2.1教学目标定位

组织什么样的内容进行教学，取决于教学目标的定位.首先我们对本节课的教学目标定位从三个方面进行考量：（1）一次方程（组）的应用举例，即通过若干问题解决，体现方程（组）的应用；（2）小专题复习，即围绕学生在本单元学习中存在的普遍问题，通过小专题复习，强化学生对有关问题的认识；（3）在运用一次方程（组）解决有关实际问题中，体现数学的应用价值，并渗透模型思想，即通过选取与学生生活实际相关的问题解决，渗透模型思想.其次我们认为：由参赛教师自己组织教学内容，这应说明承办学校已完成该单元的教学内容，因此，通过举例以体现方程（组）的应用，其意义与价值并不大；由于是借班上课，难以弄清学生学习中存在的问题，因此通过小专题复习的必要性也不大.为此，我们将本节课的教学目标定位为：在运用一次方程（组）解决有关实际问题中，体现数学应用价值，渗透模型思想.

2.2教学素材选取

根据定位的教学目标，素材的选择既要贴近学生的生活实际，问题的解决需要借助一次方程（组）的知识，又要能体现模型思想.在方程（组）应用的许多问题中，问题背景（如行程问题、浓度配比问题等等）虽然都取材于生产、生活，但离学生的真实生活也还较远，更多时候学生还是简单地将其作为应用题来解决，因而难以激发学生兴趣，也无法让学生切实感受数学的应用价值，且“模型”易演变为“题型”.为此，我们欲从学生现实生活的素材中提炼数学问题.在此过程中，我们经历了两个寻找阶段：开始想从学生现实生活中寻找能用一次方程（组）解决的问题，但或因问题过于简单，难以渗透模型思想；或因素材背景仍远离学生的生活实际，学生缺乏生活体验而未果，当然根本原因还在于我们平时缺乏对生活的观察与思考.随后我们调整思路，从数学问题中找生活背景，如此便有了发现：“牛顿问题”（俗称“牛吃草问题”）是一类比较经典的数学问题.这个问题涉及这样几个量：（1）草场原有草量；（2）每天消耗的草量；（3）在草的消耗过程中，又有新的草长出.如果以此素材为背景，也会偏离现在孩子，尤其城区孩子的生活实际.但这个数学问题能找到贴近学生生活实际的素材——排队问题.排队问题也涉及这样几个量：（1）队列中原有站队人数；（2）每个时刻有人办完业务离开；（3）别人办业务及离开的过程中，后面继续有人来排队.其和“牛顿问题”在数学本质上是一样的，因此我们决定以生活中的排队作为教学素材.

2.3问题角度选择

确定了选材方向，还需要进一步选择问题设计的角度.通过“牛顿问题”类比得到的排队问题，其仅仅是服务机构的决策问题.经过分析不难发现：生活中的排队，还存在顾客考虑排队的队列选择问题.因此，我们就从顾客及服务机构两个角度设计问题背景：（1）每个服务窗口的效率并不一样，顾客应如何选择排队窗口减少排队时间；（2）服务机构一般会考虑人力资源与顾客可接受等候时间，考虑安排合适的窗口数.如此，使问题更贴近学生生活实际，体现生活与数学联系，也更易激发学生兴趣.

2.4教学过程设计

教学过程的设计应考虑学生的认知水平，并尊重学生的差异，力求使不同的学生获得不同的感悟，得到不同程度地发展.在教学设计过程中，我们分析了下列因素：（1）如果直接将“牛顿问题”引申到排队中的问题决策，将会使角度单一，更会因难度过大，问题缺乏梯度而不利于调动全体学生参与的积极性；（2）排队过程是动态的，一部分人离开，后面又有人继续排队，这其中涉及到两个量的变化，对初一学生还略显困难；（3）单位时间内离开与新增加排队的人数并不一样，学生在生活中对此也缺乏关注，毕竟在实际生活中的排队，更多地是凭经验或直觉选择排队的队列.

根据本节课所选角度，结合上述分析，在教学过程中共设置了4个问题.问题1设置的背景是对一个窗口情况的分析，让学生感知排队中离开与新增人数变化过程.且问题1设置了两个小问题，从一个变化量（前面排队的人打饭后离开）延伸到两个变化量（有人离开过程中，又新增排队人数），从而使问题由浅入深.两个小问题都可以用简单的算术方法解决，从而每个学生都能参与其中.问题2将排队的一个窗口延伸到两个窗口，体现方程的应用，实施本节课所选第一个角度的教学.有了问题1的铺垫，问题2的解决也就不再困难.借助问题3，实施本节课所选第二个角度的教学，体现方程组的应用，也是本节课的重点与难点.为突破难点，对教学中该如何引导，由浅入深、由表及里的作了较详细预设；为突出重点，通过问题4，将问题从特殊延伸到一般，以提炼模型.并通过一道课堂练习，一道课外作业将问题推广，丰富学生认知.至此，完成了本节课主体过程的设计.

3结束语

笔者常把复习阶段的教学设计类比于写作.写文章需要先立意，明确文章主旨，以此选择素材及表达方式，文章立意高，有助于增强文章的可读性；教学设计的目标定位就相当于文章的立意，只有目标定位明确、准确，才能使素材选择的方向更明确.适度提高教学目标的定位，也有助于扩大教学的价值.

教学素材选择的视角，会关系到素材的质量与教学的针对性，从而会影响着教学效果.素材的选择可以根据问题找素材，在此过程中还常需要设计者根据定位的目标，自编、改编素材.这就要求我们平时要善于积累素材；还可从有关生活素材中，提炼数学问题，挖掘教学价值，以此设置数学问题.例如本节课的教学，我们就是通过类比与联想，发现生活中的排队问题与一次方程（组）有联系，随后分层设置问题，很好地作为本节课的教学素材.

虽然本次比赛所选的素材，得到专家评委及观摩老师们的认可，但这个素材找的并不顺利，是通过“牛顿问题”类比得到的.其实与一次方程（组）有关的生活问题并不少，如一张出租车票，一张水电费发票等，都能提炼出与一次方程有关的数学问题.这也使笔者深深感受到，作为数学老师，在平时的教学过程中，还需要我们更多地关注现实生活，并能从中提炼出数学问题，以此使有关教学素材能更贴近学生的生活实际，也让学生对数学与生活联系的体会更加深刻.

有高度的目标定位，宽广的素材选择视角，问题的精心设计，都会更利于促进学生的发展.

作者简介张克玉（1972—），男，中学高级教师（安徽省特级教师）.endprint