探讨一般三棱镜偏向角与棱镜顶角的关系

顾菊观，王梦影，徐海斌，曹炳松，俞轶帆，周天佑

(湖州师范学院理学院，浙江 湖州 3 130003)

1 引言

光学教材[1]和光学实验教材[2]都分析讨论的是顶角一定的等边三棱镜情况。文献[3]研究了空气中的三棱镜偏向角和棱镜顶角的关系。文献[4-7]讨论了空气中的三棱镜偏向角、最小偏向角与棱镜顶角、棱镜折射率的关系。文献[8]讨论了影响棱镜顶角和最小偏向测量的因素。文献[9-10]分析讨论和总结了空气中三棱镜折射率、入射角的多种测量方法，研究了要得到可测量的偏向角对应的入射点问题。文献对于一般三棱镜与顶角的研究很少，同时对于偏向角与入射角、偏向角与顶角的关系曲线中的直线部分和负值部分没有具体理论和模拟说明。应用几何光学理论、Matlab研究一般三棱镜偏向角与棱镜顶角的理论公式和关系曲线，运用Tracepro模拟光线传播进行分析讨论，对关系曲线中的直线部分和负值部分进行具体理论和模拟分析说明，其结果能很好的指导教学和实验等过程中棱镜顶角、折射率和入射角的选择，更加深对一般三棱镜偏向角影响因素的认知和理解。

2 偏向角与棱镜顶角关系的理论分析

由图1和几何关系得

图1 一般三棱镜的光路示意图

偏向角为从AC面出射的出射光线以锐角逆时针转至从AB面入射的入射光线对应的夹角且为正值，与文献[1-10]一致。偏向角与入射角、出射角、顶角的关系为

得到的偏向角与B、C角没有关系，与入射角、出射角和顶角有关。其结果与空气中等边三棱镜和文献[1，3，5-7]一致。

由（1）、（2）式及折射定律（3）式

化简得

（4）式代入（2）式得偏向角与入射角、顶角的关系

上式化简得

（7）是指给定棱镜及两侧的折射率，给定AB面上的入射角，要在AC面上观察到折射光线（即文献[1-10]所定义的偏向角）所对应的棱镜顶角必须小于最大棱镜顶角。文献（11）的最大棱镜顶角是指给定棱镜折射率和两侧折射率情况下对应的棱镜最小入射角时，能在AC面上观察出射光线及得到文献定义的偏向角所对应棱镜的最大顶角。（7）式的棱镜最大顶角是指给定棱镜及两侧的折射率和AB面上的入射角时，能在AC面上观察出射光线及得到文献定义的偏向角所对应棱镜的最大顶角。文献（11）和（7）式所定义的最大棱镜顶角是不同的。

3 偏向角与棱镜顶角的关系曲线和模拟光路（棱镜在空气中）

给定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角与棱镜顶角的关系曲线。

3.1 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=300

给定折射率和入射角i1=300，图2说明偏向角随顶角的变化是非线性的，偏向角随顶角增大而增大；达到最大顶角后沿直线线性下降，此时对应的偏向角与顶角呈线性关系是一致的（图6、8、9、12、16、20的直线部分同理解释）；图3说明要从AC面观察到出射光线，棱镜的顶角要小于最大顶角；图4说明当棱镜顶角大于最大顶角后，观察到的光线和偏向角都不是文献所定义的。因此，在给折射率和入射角的情况下，实验时要注意三棱镜顶角的选择。

图2 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图3 一般三棱镜模拟光路示意图

图4 一般三棱镜模拟光路示意图

图5 全反射对应的偏向角光路示意图

图6 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图2 中的直线部分因在AC 面上发生全反射，出射光线从BC 面出射（如图4、5）。对应的偏向角是虚数，取实部即为对应的直线部分的偏向角。

实际上，此时的偏向角θ是对应图5中的FH线与入射光线EH线的夹角。由图5在ΔEFH中得

（8）式的Matlab计算结果与（9）式相一致的。由（9）式知，此时的偏向角对于给定的入射角只与棱镜顶角有关，且为线性关系，对应于图2的直线部分，（9）式理论分析与关系曲线相符合。以下的偏向角与顶角的关系曲线图中的直线部分分析都与此相同。

3.2 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=600

由图2和图6知，棱镜最大顶角在折射率给定时，随入射角的增大而增大。从图6知，对于入射角i1=600时，棱镜顶角大于Amax=69.08420不能得到文献定义的偏向角，直线部分的原因和解释与图2相同。棱镜顶角小于Amax=69.08420能从AC面观察到出射光线和测量偏向角，图7给出的是棱镜顶角A=600（小于最大顶角的情况）时对应的模拟光路传播情况，能从AC观察到出射光线和测量偏向角。

图7 一般三棱镜模拟光路示意图

3.3 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=100

图8 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

3.4 n1=1,n2=1.6475,n3=1,i1=89.20

由图2、6、8、9知，当入射角增加时，对应的棱镜最大顶角也是增大的。

由图9知对应的是入射角i1=89.20时偏向角与棱镜顶角的关系曲线，直线部分的原因和解释与图2相同。图10 给出的是棱镜顶角A=740（小于Amax=74.73870）和i1=89.20时对应的模拟光路传播情况，能从AC 观察到出射光线和测量偏向角。棱镜顶角大于Amax=74.73870，如图11所示A=800时对应的光路轨迹，不能得到文献定义的偏向角。

图9 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图10 一般三棱镜模拟光路示意图

图11 一般三棱镜模拟光路示意图

4 偏向角与棱镜顶角的关系曲线和模拟光路（棱镜两侧折射率不同）

棱镜左侧是水，右侧是空气的情况，给定折射率和入射角，由（5）式可以得到偏向角与棱镜顶角的关系曲线。

4.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=300

图12 对应的是左侧折射率n=1.33300,入射角i1=300时偏向角与棱镜顶角的关系曲线，从曲线得到与图2、6、8、9 相似的曲线形状外，相同入射角情况下棱镜最大顶角增大，直线部分的原因和解释与图2 相同。图13 说明当棱镜顶角A=650且大于最大顶角Amax=61.23460时的光线轨迹，光线有从AB 和BC 面出射的，都不符合文献定义的偏向角的要求。

图12 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图13 一般三棱镜模拟光路示意图

图12 的曲线中偏向角有负的存在，说明棱镜顶角小于一定值后，得到的偏向角与原来定义的偏向角（出射光线逆时针转到入射光线以锐角为正值表示）转动方向相反，如图14 和15 所示。图14 是棱镜顶角A=80时对应的入射光线和出射光线的情况，对应偏向角如图15 所示。

图14 一般三棱镜模拟光路示意图

图15 一般三棱镜的偏向角为负值时的示意图示意图

图15 中对应的MDFN 是入射光线，EFH 是出射光线，DE 是棱镜内的折射光线，θ是出射光线EFH 顺时针转至入射光线MDFN 对应的夹角即为偏向角且为负值。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC面上的入射角和折射角。对应的偏向角由θ=i1+i2−A或（5）式可得到，理论与关系曲线一致。

4.2 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1,i1=600

图16 对应的是左侧折射率n=1.33300,入射角i1=600时偏向角与棱镜顶角的关系曲线，从曲线得到与图2、6、8、9、12 部分相似的曲线形状外，图16 的曲线中存在偏向角为负的直线部分和曲线部分，曲线部分的解释与图12、14、15 的解释一致的。图17（A=150）说明得到的偏向角与原来定义的偏向角转动方向相反，偏向角是负值，对应图16 负的曲线部分。由图18 左图和右图知给定顶角无论B 角大小如何，光线经AC 全反射后又从AB 面（入射面）出射的（如图18 所示），不符合文献定义的偏向角的要求。

图16 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图17 一般三棱镜模拟光路示意图

图18 一般三棱镜模拟光路示意图

图12 和图2，图16 和图6 比较知，左侧折射率增大对应的最大顶角也增大。图16 中偏向角为负的直线部分，光路图如图18、19 所示。图19 中对应的MDFN 是入射光线，EFH 是出射光线，DE 是棱镜内的折射光线，θ是出射光线EFH 顺时针转至入射光线MDFN 对应的夹角即为偏向角（如图箭头转向,θ取负的，图中标的是正值）。i1,r1是AB 面上的入射角和折射角，r2,i2是AC 面上的入射角和折射角。

图19 一般三棱镜的偏向角为负值时的示意图示意图

由图19 在三角形ΔADE中得

在三角形ΔDEF中得

（10）式代入（11）式得

（12）式的计算结果与（5）式计算结果及图16 中偏向角为负的直线部分是一致的，这就理论上解释了负偏向角的直线部分。

5 偏向角与棱镜顶角的关系曲线和模拟光路（棱镜在水中）

棱镜两侧都是水的情况，给定折射率和入射角，由（7）式可以得到偏向角与棱镜顶角的关系曲线。

5.1 n1=1.3330,n2=1.6475,n3=1.3330,i1=600

由图16 和图20 比较知，相同入射角时，棱镜右侧折射率增大对应的棱镜最大顶角也增大。由图2 和图20 比较知，相同入射角时，棱镜两侧折射率相同时偏向角与顶角的关系曲线相似，折射率大时对应的最大顶角也要大。给定棱镜折射率、两侧折射率和入射角，如图20 所示得棱镜的顶角有大于 900的情况。图21 是棱镜顶角A=950时对应的光路轨迹情况，说明棱镜顶角大于 900也能从AC 面观察到出射光线和测量偏向角。图22 对应A=1100时的光路轨迹情况，由图22 知虽光线有从AC 面出射的，但不是文献定义的偏向角；也有从BC 面出射的光线，也不存在文献定义的偏向角。

图20 一般三棱镜偏向角与顶角的关系曲线

图21 一般三棱镜模拟光路示意图

图22 一般三棱镜模拟光路示意图

6 结论

基于理论推导得到的偏向角与棱镜顶角的关系公式和最大棱镜顶角公式，通过Matlab 和Tracepro 得到关系曲线、模拟光路和最大棱镜顶角，研究和讨论了一般三棱镜的偏向角与棱镜顶角、棱镜折射率、棱镜两侧的折射率及入射角的关系。研究得到对于给定的棱镜折射率、两侧折射率和入射角，偏向角与入射角的关系曲线有相似和不相同的情况，由曲线知都存在最大棱镜顶角，且棱镜顶角大于此角，不能得到文献定义的出射光线和偏向角；由图知相同棱镜折射率，不同的入射角对应的棱镜最大顶角随入射角增大而增大；两侧折射率不同时，对应的关系曲线有不同的部分，既有偏向角与原来定义的偏向角方向的情况，又有不符合的情况；同时知棱镜顶角大于 时也能观察到文献定义的偏向角存在的情况。理论解释了关系曲线中为负偏向角的直线和曲线部分产生的原因。其讨论和研究结果，对于研究、实验及教学过程选择棱镜顶角、棱镜两侧折射率及AB 面上的入射角都具有很好的参考价值。是大学生科研训练的很好选题，能培养提高学生的研究能力和计算机应用能力。