抛物线中的直角梯形

金鑫+费连花

解析几何中抛物线的几何性质在高考中得到了越来越多的关注，对于这部分几何性质的解法，几何法显得更占优势，而本文所有的题目均列出了几何解法，例3和例4是本人对2016年全国卷20题的推广及改编.

那么我们就先从一个大家熟悉的图形开始，它是“上底加下底等于斜腰的直角梯形”.

一、图形信息：BB′⊥A′B′，AA′⊥A′B′，|AA′|+|BB′|=|AB|，AB，A′B′中点为M，M′.AB线段上取F点满足|AF|=|AA′|.结论如下：

（1）∠1=∠2，∠3=∠4.

（2）A′F∥BM′，M′A∥B′F.

在2016全国卷Ⅲ第20题的第一问应用了这条结论.

（3）BM′⊥AM′，以AB为直径的圆与线段A′B′相切，切点为M′，BM′⊥B′F.

（4）B′F⊥A′F，以A′B′为直径的圆与线段AB相切，切点为F.

（5）M′F⊥AB.

（6）|M′F|2=AF·BF=AA′·BB′，|A′B′|2=4AA′·BB′.

二、接下来我们在抛物线y2=2px（p>0）中找到这种直角梯形.通过抛物线定义我们很容易找到满足上底加下底等于斜腰的直角梯形.分别为四边形ABB′A′和四边形AFOC.证明略.

上面向读者指出了抛物线中的这种直角梯形的存在，那么关于它的结论在这里面既可以作为考题来考，也可直接为我们所用.

三、通过例1和例2的分析了解这种直角梯形在抛物线环境下涉及的问题与结论.

例1AB是一条焦点弦，AB的中点为M，作MM′与准线垂直，垂足为M′，设MM′与抛物线交于T点.求证T点是MM′中点.

分析由结论（5）可得M′F⊥AB，由抛物线定义可知|M′T|=|TF|，即可得到结论.

例2证明抛物线焦点弦的中垂线与x轴的交点到焦点的距离与焦点弦长的比是定值.

分析如上图所示，通过对边平行证明四边形MM′FQ为平行四边形，

得到|FQ|=|M′M|，再由2|MM′|=|AB|得到结果.

四、最后的两个例题是本人对2016全国卷Ⅰ文科第20题第一问的推广及改编.

例3在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交于y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p>0）于点P，在MP延长线上取点N，满足MN=λMP，连接ON并延长交C于点H.求|OH||ON|.

解过点H作HG⊥y轴，G为垂足.

由结论（6）得：4|OM|·|OF|=|OG|2，4|MP|·|OF|=|OM|2.

两式相除得：|OM||MP|=|OG||OM|2.

因为MN∥GH，

所以|OG||OM|=|GH||MN|=|OH||ON|，

所以|OM||MP|=|GH||MN|2，

即|MN||MP|=|GH||MN|.

因为MN=λMP，即|MN||MP|=λ，

所以|GH||MN|=|OH||ON|=λ.

例4在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交于y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交抛物线C于点H，连接PF交ON于点K，求证MK⊥ON.

证明设|OF|=a，|GH|=b.

由例3可知|MP|=|PN|=b4.

由抛物线定义可知

|PF|=a+b4.

因为△PNK∽△KOF，

所以|PK||PF|=|PN||PN|+|OF|，

所以|PK|=|PN|=|MP|，

即MK⊥ON.

巧解高中数学难题——以三角函数为例

巧解高中数学难题——以三角函数为例

◎刘天宇（山东省济宁市金乡县第一中学高二（14）班，山东济宁272000）

【摘要】三角函数是高中数学中最重要的一个组成部分，同时也是重要的基本函数之一，在实际的教学中不仅内容相当丰富，公式相当多，同时其考察的形式也比较灵活多变，因此在实际的教学中，往往学生很难对其进行有效的掌握，也正因为如此三角函数成了高中数学中教学的重点和难点.本文主要就如何利用三角函数巧解高中数学难题进行分析研究.

【关键词】巧解；高中数学难题；三角函数；方式

三角函數是数学中常见的函数，在实际的教学中，三角函数对研究三角形以及圆等几何形状的性质有着极大的作用，同时还能够利用三角函数进行周期性现象的研究[1].另外，在进行数学分析的过程中，三角函数同样也是被定义为微分方程特定的解，由此就可以看出三角函数在数学教学中的重要意义.尽管三角函数的解题方式比较多样化，不过其中仍然存在一定的规律，下面就具体对利用三角函数巧解高中数学难题进行分析.

一、使用三角函数巧解高中数学难题的方法

（一）定义法

使用定义法解题是最为原始和朴素的一种解题方式，使用三角函数的定义进行解题，能够使题目的思路更加的简单易行，并且能够更好地让人进行理解，比如，在以下题目的解答中：

求y=sinθcosθ+sinθ+cosθ的最值，在实际的解答中，首先需要根据三角函数的定义得出，sinθ=yr，cosθ=xr，同时x2+y2=r2，因此y=sinθcosθ+sinθ+cosθ=xyr2+yr+xr≤1r2×x2+y22+1r×2（x2+y2）=12+2，也就是当x=y，sinθ=cosθ时，取最大值.

在实际的解题中，虽然定义法只能针对一些简单的题目进行处理，但是在解题的过程中如果能够和其他的方式进行联合应用，就能够有效地降低解题的难度，最终实现对题目的有效解答.

（二）使用消参法进行解题

消参法就是透过题目的现象看到题目的实质，也就是在实际的问题处理中，根据题目给出的不同参数之间存在的联系，利用相应的公式，实现对已有参数的转化，从而使题目的解答更加简便.关于消参法的应用，可以根据题目中上下文中相应的定理和公式进行灵活的运用，这样就能达到利用三角函数解答数学难题的目的.

（三）构造法

构造法的应用主要是在原有函数式没有满足公式定理转换条件的情况下，通过减少项或添加项等方式实现对函数的等效转换，这样就能达到简化计算的目的，从而更方便地进行解题，比如，

已知tanα=3，求sinα-3cosα2sinα+cosα的值.

首先tanα=sinαcosα，含分母cosα，这种情况下就可以将原分式中的分子和分母中的各项使用cosα进行整除，形成tanα.

解：因为tanα=3推出α≠kπ+π2推出cosα≠0，

所以sinα-3cosα2sinα+cosα=sinαcosα-3cosαcosα2sinαcosα+cosαcosα=tanα-32tanα+1

=3-32-3+1=0.

二、结束语

综上所述，在当前社会经济不断发展的过程中，教育事业得到了社会各界共同的重视，高中阶段作为学生最重要的阶段，其教学质量直接影响着未来学生的个人成长和发展.数学作为高中阶段重要的一个科目，对学生的学习成绩有着重要的影响，三角函数是高中数学中的重点，只有充分地认识到三角函数定义、理论以及相关的数学思维和方法，在实际的问题处理中，能够综合多种方式进行相关数学问题的解决，才能有效地提高数学的解题效率，简化解题步骤.在实际的解题过程中，尽管三角函数能够实现对一些简单问题的解决，但是面对一些比较复杂的问题，就需要综合多种方式，灵活地进行应用，这样才能更好地实现对数学难题的解决，最终促进三角函数对高中数学难题的有效解决.

【参考文献】

[1]邓靖.巧妙利用化归法解决高中数学三角函数题[J].读写算：教师版，2015（41）：113.

[2]王成.整体把握高中数学新课程中的三角函数与三角[J].新课程导学，2016（35）：94，100.endprint