三角函数求最值问题

张永亮+田凤娟

摘 要： 关于求最大值和最小值的问题涉及的知识面都很广，灵活性也很大，所以求解会遇到一定的困难.本文从具体实例出发，分析并介绍利用三角函数的有界性将问题转换，利用变量替换、等价化归、图形结合等几种比较典型的解题方法，将原始的变量转化为三角函数，巧妙求解多种最值问题.

关键词： 三角函数 最值 几何

最值问题遍及函数、立体几何、解析几何等各领域中，在生产实践中也有广泛应用，并且这类问题综合性强、灵活性大.这类问题的解决涉及化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括变量替换、问题转换、等价化归、图形结合等常用方法.掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力.下面针对利用三角函数求最值问题，进行分类讨论.

1.有关向量问题的最值

例1.给定两个长度为1的平面向量■和■，它们的夹角为120°，如下图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=x■+y■，OC=x■+y■，其中x，y属于R，则x+y的最大值是多少？

分析：当点C在圆弧上运动时，x，y都是变化的，如何刻画这个变化呢？引入一个辅助角是解决问题的关键，同时选取■，■作为基底，易找到■，■的分解关系.

解：设∠AOC=θ将■在■，■方向上分解，如图1：

图1

因为■=x■+y■，■=1，

所以在三角形OCE中，OE=x，CE=y.

由正弦定理得

■=■=■

故x+y=■[sin（120°-θ）+sinθ]=■（■sinθ+■cosθ）=2sin（θ+30°）≤2.

遇到旋转角的问题时常引入辅助角解决问题，这样的优点：一是可以将所求的问题转化的三角函数问题解决，这是我们所熟知的；二是未知数只有一个，也便于问题的求解.

2.有关三角形问题的最值

例2.若AB=2，AC=■BC，则三角形ABC的面积最大值是多少？

分析：如图2，三角形ABC的面积大小取决于边BC，可设BC为一个参变量，但要注意变量的取值范围，利用三角函数的三角形面积公式，即可求出面积.

图2

解：设BC=a，则AC=■，△ABC的面积为S，由三角形两边之和大于第三边有

a+■a>2，即a+2>■a，故有2■-2

由射影定理得

AB=ACcosA+BCcosB

即■acosA+acosB=2

得2a■cos■A=4-4acosB+a■cos■B

又由正弦定理得

■=■

得2sin■A=sin■B

从而2cos■=cos■B+1，a■（cos■B+1）=4-4acosB+a■cos■B

解得cosB=■，sinB=■=■=■

S=■AB×BC×sinB=■■

当a■=12，即a=2■时，满足边的范围，因此S有最大值2■.

三角形面积的最值的求解利用常规求法很难做到，我们常利用三角函数的有界性，这样在做题目时便有法可循，能降低难度.

3.有关曲线问题的最值

例3.求经过A（1，1），且以y轴为准线、离心率为■的椭圆的长轴的取值范围是多少？

分析：如图3，要求长轴的取值范围，引入曲线的参数方程，将长轴2a用cosθ表示出来利用cosθ的范围在[-1，1]之间，便可求出2a的取值范围.

图3

解：设椭圆的参数方程为

x=x■+acosθy=y■+bsinθ，其中a>b>0

由e=■，知c=■a

椭圆的中心横坐标为x■=■=■a

由椭圆过定点A知1=■a+cosθ

则2a=■，所以当cosθ=-1时，2a取最大值4，

当cosθ=1时，2a取最小值■，所以■<2a<4.

曲线最值问题，利用几何性质去解，会很困难，甚至解不出，引入参数方程，三角函数的有界性可以很好地帮我们解决此类问题，这样做一是使问题突然变得简单易解，二是参数减少到一个，便于分析.

4.有关数列问题的最值

例4.a是1+2b与1-2b的等比中项，则■的最大值是多少？

分析：由a是1+2b与1-2b的等比中项可得

a■=（1-2b）×（1+2b）=1-4b■

即a■+（2b）■=1，联系三角形的恒等式cos■θ+sin■θ=1类比换之就可使题目得到简化.

解：令a=cosθ，2b=sinθ，θ∈R，满足a■+（2b）■=1

所以■=■≤■=■=■

因为θ∈R，所以|sin2θ|∈[0，1]

所以■∈0，■，则■的最大值为■，当θ∈■+kπ（k∈z）时取到最大值.

在数列中，有时我们也可以引入三角函数，达到事半功倍的效果，此题最大的亮点在于能够找到a■+（2b）■=1满足三角函数的一个恒等式cos■θ+sin■θ=1，从而为引入三角函数明确了方向，任何最值问题，只要与三角函数联系上了，就变得明朗起来，将■用三角替换便得到解决.

5.在实际生活中的应用

例5.某市现有从市中心O通往正东方向和北偏西方向30°方向的两条主要公路，为了解决市交通拥挤的问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上，选取A，B间为直线段，要求路段AB与市中心O的距离为10km，且使A，B间的距离最短，请你确定A，B两点的最佳位置.

构造数学模型如图4，已知∠？藿=120°，A，B为∠？藿上的动点，OD⊥AB，|OD|=10，求|AB|的最小值.

图4

分析：转化为三角函数关系

解：设∠AOD=■-θ，则∠BOD=■+θ，-■<θ<■

|AB|=|BD|+|AD|=10tan■-θ

令tan■θ=t，t∈0，■

则|AB|=20■×■

再令1-3t=m，m∈[0，1]

则|AB|=20■=■■-1

当m=1时，即θ=0时，|AB|的最小值为20■km，此时|OA|=

|OB|=20km.

通过以上五个不同方面的例题的分析和归纳总结，可以看出利用三角函数的特点和性质灵活运用于数学问题中的妙处及重要作用.它的应用领域非常广泛.常见的如在函数、数列、圆锥曲线、三角形中等方面求解最值问题，都能够用到三角函数，只要我们仔细挖掘所给信息与三角函数的性质和特点之间的联系，将信息巧妙变通，把所给量与三角函数联系起来，转化成关于三角函数的求解，明确的指定角范围，得到关于三角函数的等式，建立关系，运用三角函数的有界性，根据所给题目的要求，灵活取值，代入等式中，便可求出所要的最值.

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