谈数学形式化与非形式化的转化

曹志栋

【摘要】《普通高中数学课程标准》把“强调本质，注意适度形式化”作为课程的基本理念之一，形式化是数学的本质特征之一，但过度的形式化又会让学生感觉到数学只是堆积起来的一堆符号，失去了数学应有的应用性质，会导致学生的数学应用意识薄弱，不能抓住数学知识的本质，因此，在数学教学中实现数学形式化与非形式化的转化是一项颇具难度的工作.本文将结合笔者在教学工作中的体会，提出一些建议.

【关键词】形式化；非形式化；转化

一、形式化与非形式化

数学形式化是一种用符号或符号的方法或技术来认识数学、表达数学、传承数学的过程.如，对函数单调性、奇偶性等的定义，通过函数值间的关系去表达，且以后也通过这样的定义去研究函数的性质便是一个形式化的表达及研究过程.但表达数学内容本质的形式可以是多种的，它未必是符号化的.如，我们也可通过函数图像随自变量的变化去认识单调性、通过图像的对称性认识奇偶性，另外，我们日常的文字语言也是非符号化的，像这样的非数学符号的表达，我们都可以称之为数学的非形式化.

形式化与非形式化都是表达数学的方式，都可以认识数学、表达数学和传承数学.但形式化更具抽象性，对数学的表达更加准确、简明、抽象，具有高度的概括性.非形式化更侧重于从直观上表达数学，赋予数学更多的现实意义，在实践中认识数学、表达数学、研究数学，更加容易被人接受.

在数学的学习过程中是形式化与非形式化并存的，如，上述函数的单调性与奇偶性的定义.数的认识过程中，由数到字母代数，再到高等代数里的矩阵、行列式，抽象代数里的群、环、域，这样的认知过程本身就具有形式化特征，但在其认识过程中，我们又会涉及一些具体的例子，首先我们在开始阶段是由具体的事物的个数认识数的，用字母代数，我们也有过很多的具体例子，高等代数里对某些行列式赋予三角形面积等实际意义，用矩阵研究对策问题等，都赋予了数学实际意义，可以说是个非形式化的过程.

数学的形式化与非形式化是相互促进的，当一种符号系统无法处理现实的问题时，人们便寻求其他的符号系统，那么这个符号系统便是实际要求的产物，如，单调性、奇偶性的定义正是人们对于图像认识的产物.反过来，这种符号系统又可以赋予很广泛的意义，解决更多的实际问题，具有更多的非形式化表达.

二、形式化与非形式化的互化

过多的形式化会导致数学变成无意义的符号堆积物，变得非常空洞，失去其内在本质.而失去了形式化，失去了数学的概括性，数学的实体就会变少，数学也就没有多少非形式化的表达.在教学中如何实现数学形式化与非形式化的转化，现给出如下建议.

（一）在教学中让学生将知识系统化，抓住一个体系的实质

集合中的元素、数列里的通项、不等式里的实数大小比较、直线里的方程等都是符号系统里最基本的元素，抓住了这些，就抓住了数学知识的实质，在学生的解题过程中便不会出现没有思路的情形.另外，除了数学的基本要素之外，还得让学生明白自己研究了哪些东西，得到了哪些成果，适时地让学生去应用这些知识，提出一些可供研究的课题，让学生掌握形式化的知识体系，并把握数学知识的实质.

（二）课堂情境设置要恰当

一个好的现实情境能给一节成功的课开个好头，让学生体会数学的实用性，并为了解决此问题而学习本节课的內容，学生便会更多地参与思考，而不只是被动地接受，数学便顺其自然地由非形式化进入了形式化.但现实中存在的问题是，有些教师的教学中干脆没有情境，而有些教师则不管什么题材的内容教学，都要设置情境，有时让人颇有牵强之感，并且由于教学方法不当，导致学生没有认识到情境的解决到底需要什么样的数学知识，失去其情境的目的性，没有“引入”可言.这里要解决这样几个问题：（1）选择什么样的情境；（2）教师如何讲授情境；（3）学生怎样能够进入情境.

总之，在形式化的数学教学过程中，教师要结合自己的生活经验、知识体系，设置适当的情境，引导学生进入情境，参与思考，最终掌握数学知识，并学会应用数学知识解决问题，在情境的讲授过程中还要努力创造轻松、和谐、风趣、愉快的课堂气氛，满足学生的情感要求，从而达到提高他们自觉运用逻辑工具分析、解决问题的能力.

（三）注意同一种数学符号的语义转化

数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者每一个数学概念、关系等一般都有一种确定的数学符号表示.但是，数学的符号表示与数学语义的解释不是“一一对应”的，一种数学符号可能有多于一种的数学语义解释，这也构成了数学的符号化、形式化的一大特点.现举出以下简单的例子.

① x2+y2代表的意义：

a.x2+y2的算术平方根；

b.点（x，y）到原点的距离；

c.复数x+yi的模；

d.若x，y是正数，x2+y2还表示以x，y为直角边的直角三角形的斜边.

② 1的含义：

a.tanπ4；

b.sin2α+cos2α，sec2α-tan2α，cec2α-cot2α，tanα·cotα；

c.logaa；

d.Dirichlet函数自变量取有理数时的函数值；

e.布尔代数里的真值；

f.必然事件的概率；

g.单位向量的模；

h.limx→0sinxx.

在这里要特别注意，在中学数学里用到最多的是数与形的转化，教师在教学过程中，既要做出这方面语义转换的示范，又要不断地提醒学生从不同的角度、用不同的观点，并从各个不同的侧面观察问题.

（四）注意对不同认知结构的学生实行不同的培养模式

在高中数学学习阶段，有些学生分析事物的能力很强，他们在平时的学习过程中更注重纵向思维，注重严密的逻辑思维，更喜欢使用数学的严密化推理，所以他们解决问题的过程往往比较细致与全面，考虑比较精细，解题的正确率高，但解题的速度比较慢并且死钻牛角尖，因为他们太注重形式推理，总是认为不严密就会导致错误，可以说他们的认知结构是偏重分析性的.另一种学生在平时学习过程中更注重横向思维，更注重合理的观察、猜想，更喜欢使用数学的非形式化的思考方式，所以他们解决问题的过程往往比较粗糙，有些环节不是很严密，解决问题虽然比较快，但他们在进行非形式化思维的过程中，难免会有一些环节由于不严密而出现漏洞，可以说他们的认知结构是偏重功用型的.

对于这两种学生，我们应该采取不同的教育方式，对于喜爱形式化推理演绎的学生，我们应当适当地渗透非形式化的思维方式，以便于他们的思维更简便，而对于喜爱非形式化思维的学生，我们应当适当地渗透形式化的推理演绎，以便于他们的思维更加严密.

三、总结

总之，数学教学要遵循一个不断“非形式化—形式化”的过程，一个“问题—解决问题—问题”的循环过程，在教学中，应注意引导学生多探讨一些为什么，并且弄清楚数学中的“道理”与“意义”，在数学教学过程中反映出数学的创造过程，做到既让学生理解“证明”，又让学生学会“猜测”，使学生能“知其然又知其所以然”，最终实现数学形式化与非形式化的和谐统一.endprint