基于“理解技术”视角下的教学设计

韩敬

[摘 要] 章建跃博士在报告中强调：在教学中，应充分做好“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术” 等工作，其中“理解技术”指的是课堂教学应该与信息技术整合. 本文对“线段的垂直平分线（1）”一课进行信息技术教学尝试，通过实践，取得了较好的效果，现呈现教学实录，敬请同仁们指正.

[关键词] 线段的垂直平分线；信息技术；数学教学；几何画板；微课

教学内容说明

本节内容是沪科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第15章第2节第一课时的内容，由于前一节学生已学习了线段垂直平分线的定义，因此本节课的主要内容是线段垂直平分线的作法及其性质的探索.

作图是一种技能，笔者没有采用传统的“教师作图，学生模仿”，而是采用观看微课的方式进行教学. 在探索线段垂直平分线的性质定理中，学生经历了观察、实验、猜想、证明的认知过程，教师利用几何画板动态直观演示，帮助学生提出猜想，激发了证明的欲望，性质的证明渗透了转化思想（即把线段垂直平分线问题转化为三角形全等证明问题）.

由于本书将“线段垂直平分线”安排在三角形全等、轴对称（图形）内容之后，在等腰三角形、角平分线之前，因此采用类比全等三角形学习路径（即定义——性质——判定）展开研究，这种研究思路对角平分线等几何内容的研究也有借鉴作用.

教学目标设置

1. 会用尺规作已知线段的垂直平分线，并能说明它的正确性.

2. 掌握线段垂直平分线的性质定理，并会运用.

3. 经历探索、证明线段垂直平分线性质定理的过程，进一步发展学生的空间观念、培养合理推理能力和演绎推理能力，渗透类比、特殊到一般的思想.

4. 在探索中，培养独立思考和合作学习的习惯，培养积极探索、勇于探索的精神，享受获得成功的喜悦.

教学实录

1. 溫故类比

问题1：上一章我们系统地研究了全等三角形，你能总结一下研究的思路是什么吗？

师生活动：教师引导学生回顾研究思路是“定义——性质——判定”.

问题2：类比全等三角形的研究，你认为线段的垂直平分线应该如何研究？

师生互动：从线段垂直平分线的定义入手，研究性质、判定.

设计意图 回忆全等三角形的学习路径，为类比研究学习线段垂直平分线提供了一条研究线索，使学生对学习的进程做到心中有数. 这种先行组织者教学策略能激活认知结构中已经具备的相关观念，使得学生体验到研究结构上的关联性，从而学会类比研究. 这种设计思路的导向性强，能很好地落实“发现和提出问题能力”的培养.

师：上一节课已经学习了线段的垂直平分线的定义，你能说说什么叫线段的垂直平分线吗？

师生互动：学生说定义，教师板书定义，并标示定义中“垂直”“平分”这两个关键词.

师：接下来，应该研究什么问题？

生：线段垂直平分线的性质.

师：很好，在研究线段垂直平分线的性质之前，我们得会画线段的垂直平分线.

设计意图 概念反映的是一类对象在数与形方面内有的、固有的本质属性，它是问题研究的根本，更是研究它衍生出的其他知识的依据. 回忆概念、找关键词既为后面垂直平分线作法的正确性验证做了思路上的铺垫，也为性质定理的证明顺利书写“已知条件内容”埋下了伏笔.

2. 问题探究？摇

问题3：怎样画线段的垂直平分线？ 你有哪些办法？

师生互动：学生动手操作，在学生回答基础上，教师板书画法：折纸法、过中点画垂线法.

追问：除了上面的两种方法外，还有什么方法？

生：尺规作图.

师：利用尺规作图如何作？

学生摇头，表示不会.

师生互动：教师播放“尺规作图”的微课视频（微课片段如图1、2、3），学生观看微视频的作图过程，然后学生动手作图，其中一名学生上黑板画图.

设计意图 采用微课视频教学，能吸引学生的注意力，激发学生兴趣，有利于培养学生的观察能力. 作图是一种操作技能，学生可以观看视频模仿操作，因为学生的接受能力有差异，用微课可以重复播放.

问题4：为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线呢？理由是什么呢？（设所作直线CD交AB于点O，如图3所示）

师生互动：教师提醒，遇到困难应回到定义，利用定义中的关键词“垂直”（垂直即要证90°角或邻补角相等）、“平分”（平分即要证线段相等），进而将问题转化成证明OA=OB，∠AOC=∠BOC.

师（追问）：如何证两条线段、两个角相等？

生：只要证三角形全等.

师（追问）：图中有三角形吗？

生：没有.

师（追问）：那怎么办？

生：构造（或画辅助线），可以连接AC，BC，证明△AOC与△BOC全等.

师（追问）：具备全等的条件吗？（启发学生从作图中获得“AC=BC”）

生：已知AC=BC，公共边OC，而“OA=OB”是求证的结论，找边不行，只能找这两边的夹角.

师（追问）：如何说明∠ACO=∠BCO？

……

师生互动： 教师要求学生先独立思考，再小组交流，小组代表展示成果；教师参与到有困难的小组中，引导再次构造新的一对三角形.

设计意图 证明CD是线段AB的垂直平分线是难点，需要适当引导. 这里采用连续追问，意在启发学生如何去想，怎么想，让学生学会去想. 有了第一次构造全等的经验，故第二次构造全等是让学生自己去完成.

问题5：猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何关系？endprint

师生互动：根据图中的“AC=BC，AD=BD”及“O为线段AB的中点”，引导学生猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离的关系，然后让学生在图中除点C，D外，任意找一点，度量一下，观察和猜想是否一致，接着，教师利用几何画板度量功能进行演示，进而确认了猜想的命题.

师：一个命题的真假仅靠实验、猜想是不够的，还要进行严密地推理. 命题证明的一般步骤是什么呢？

生：根据题意画出图形，结合命题的条件和结论，写出已知、求证，最后再证明.

师：很好，请你们在学案上完成这个任务.

师生互动：学生先口述，当形成共识后，教师用PPT呈现：已知如图4，直线MN经过线段AB的中点O，且MN ⊥AB，P是MN上任意一点.

求证：PA=PB. （证明过程略）

师：到这里，可以大声宣布，这个命题是正确的，我们把这个真命题称为线段垂直平分线的性质定理. （板书：线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等）

师生互动：让学生结合图形，尝试规范地表示出性质定理的几何语言. 即如图4，因为MN⊥AB，AO=BO，点P是MN上的任意一点，所以PA=PB.

师：这个定理的条件和结论是什么？有何作用或价值？

师生互动：学生说条件和结论，师生归纳：该性质是用于证明线段相等. 至此，我们证明线段相等又多了一种方法.

师：回顾性质的探索，我们经历了怎样的过程？

生：先从特殊猜想，得到命题，最后证明.

师：这种从“特殊到一般”的探究方法，是研究几何问题的常用方法，这种探究方法在后面的学习还将用到.

设计意图 性质定理的探索，学生经历了观察、度量、实验、猜想、证明，这符合定理教学的一般过程：发现和猜想命题——证明猜想得到定理——明确定理的条件和结论. 这个经历不但使学生体会到知识的形成过程，而且体会了用合情推理提出猜想，用演绎推理证明结论这一个几何研究的基本思考方式. 另外，几何画板的直观演示更增添了猜想的正确度，大大地调动了学生证明的欲望.

3. 解决问题

问题6：你能用今天所学的知识解决问题吗？

师生活动：（1）若点P在线段AB的垂直平分线上，PA+PB=6 cm，则PB=______.

（2）如图5，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB，BC于D，E，若AC+BC=5，求△AEC的周长.

变式：其他条件不变，对调一个条件与所求的结论，即若△AEC的周长为5，你如何求AC+BC的长？

设计意图 通过由易到难的梯度练习，有效地促进了学生对线段垂直平分线性质的理解和掌握，实现知识向能力的转化. 同时，第（2）题既渗透了整体思想，也有利于培养学生的发散思维和创新思维能力.

4. 归纳总结

问题7：（1）本节课你学到了什么知识和方法？

（2）运用了什么数学思想？

（3）如果将线段垂直平分线的题设与结论互换，这个命题还成立吗？

设计意图 利用框架从知识、方法、数学思想进行梳理，培养学生整理与反思的习惯，建构新的认知结构，形成系统，问题（3）提出了新的问题，将为下节课的学习做好准备.

5. 分层作业

（1）必做题：教科书P130第2题.

（2）选做题：教科书P131第3题.

设计意图 分层作业，使人人都能获得良好的数学教育，不同层次的学生在数学上得到不同的发展. 必做题帮助学生巩固“双基”，选做题是为学有余力的学生设计的，培养他们的综合能力.

教学思考

信息技术辅助教学与数学学科整合已是现代化数学教学方式之一. 利用现代的技术、现代化的教学手段来深化课堂教学改革是必然的趋势，因此，我们不能排斥，也不能盲目地“滥用”. 对于数学学科来说，可选择几何画板和微课等技术来辅导教学，那么在课堂上如何去用？

1. 用在“重、难点”处

信息技术与课程融合无非就是为了优化课堂教学，提高课堂教学效率. 重点、难点是学生建构知识结构的障碍，为了强调重点，突破难点，教师将重难点问题设计成微课的形式展示出来. 而对每一节课来说，都有其教学的重难点，因此在选用技术时，要充分考虑利用技术能否达到突破重难点的目的，否则宁可不用. 在本课中，让学生去探究线段垂直平分线的画法难度很大，即便采用其他的方式来铺垫，也会花费课堂的大量时间，而画图只是一种操作的技能，完全可以采用微课教学来代替传统的“老师讲，学生模仿”的教学方式，这样即使课堂上掌握不了，课后还可以多次观看视频，直至学会为止.

2. 用在“抽象”中

我们知道，数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学知识具有高度的抽象性，几何画板能很好地把数和形潜在的关系及其变化动态地显示出来，将抽象的问题直观化. 在探索线段垂直平分线的性质时，利用几何画板的动态演示，学生能直观地发现：垂直平分线上的点到线段两端的距离长度在不断地变化，但相等关系始终是不变的，让学生感悟变化中的不变性，形成直观的猜想，激发学生产生证明的欲望，调动了学生思维的积极性，促进了学生合情推理能力的发展和空间想象力的发展. 比如，在平行四边形的教学中，要弄清楚平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，可以借助于几何画板，拖动边或顶点，其之间的关系则一目了然. 通过操作，让学生充分认識到“平行四边形——矩形”“菱形——正方形”的变化过程，直观地展现出它们之间“一般与特殊”的关系，有利于理清性质之间的异同点，更好地理解和运用性质.endprint