含参不等式恒成立问题的思维途径

于 晴

(河北省唐山市第二中学 063000)

含参不等式恒成立问题的思维途径

于 晴

(河北省唐山市第二中学 063000)

含参不等式问题是高考中常见题型.本文就这类问题的求解方法加以分类，并举例说明.这对提高解答该类问题的能力，有参考价值.

含参不等式；恒成立；问题转化

含有参数字母的不等式恒成立问题综合性强，融合了函数、方程、不等式、三角、数列等各知识点，涉及到诸多数学思想方法，既是高中数学中的典型问题，也是高考的热点题型.本文就求解这类问题的若干思维途径总结如下.

一、选择恰当的主元

从不同的角度分析不等式的结构特征，选择恰当的主元，构造出相应的函数，利用这个函数的有关性质来解决问题.

分析本题常规思路是把左式中的log3x视为一个字母的变元，则可化为二次式问题，但系数中的log2m在变动，不易把握.若视log2m为一个字母的变元，则可化为关于这个字母的一次式问题，容易掌握.

点评本题求解的关键是改变常规思维，变更主元，从而化二次式为一次式，使问题化难为易.选准观察角度，寻找到恰当的着手点，是简捷顺畅解题的关键所在.一般情况下，已知取值范围的字母(如本例中的log2m)为主元，常使问题变得简单易解.

二、分离参数

在含参数的不等式中，如果能将参数解出来，那么可转化为求函数的最值问题.

例2 已知不等式x2+(m+1)x+1≥0在x∈[0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围.

综上得m的取值范围是[-3,+∞).

三、变量代换

数学解题中，如果能作出恰当的代换，那么可将复杂的式子简单化，隐蔽的关系明朗化，从而为解题开辟通道.如上述的例1.现再看一例.

例4 对于满足16x2+9y2-32x+18y-119=0的实数x,y，如果不等式x+y-k>0恒成立，求k的取值范围.

而5sin(θ+φ)的最小值是-5，从而得k的取值范围是(-∞,-5).

四、利用切线

将不等式转化为一条曲线与一条动直线的高低位置关系问题.利用动直线与曲线的邻界位置——相切来解决问题.

[1]戚有建.如何选定主元[J].数学通讯，2014(7、8)：5～7.

[2]郑一平.常规的分离参数解法为何半途而废[J].数学通讯，2014(4)：12～13.

[3]吴佐慧，林军，刘合国.高考全国卷含参不等式恒成立问题的探究[J].中学数学，2014(2)：85～87.

[4]滕中华，章才良.例析“分离参数法”在含参不等式中的应用[J].福建中学数学，2014(4)：42～44.

[5]刘鹏.参数取值范围问题的求解方法[J].高中数学教与学，2014(1)：19～21.

G632

A

1008-0333(2017)31-0041-02

2017-07-01

于晴，河北省唐山市第二中学 ，在校学生.

杨惠民]