解决统计与概率应用问题的策略

黄世平

解决统计与概率应用问题的策略

黄世平

数学解题，结果正确固然重要，但更重要的是对解题过程中所使用策略的反思总结.下面我们结合统计与概率应用中的典型问题，来说明如何根据解题思路的形成进行反思，以便同学们举一反三，学会反思总结归纳.

例1 下列说法正确的是（ ）.

A.“经过有交通信号的路口，遇到红灯”是必然事件

B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次

C.处于中间位置的数一定是中位数

D.方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小

【解答】A.经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，说法A错误；

B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次不一定投中6次，说法B错误；

C.一组数据从小到大排序后，奇数个数据处于中间位置的数是中位数，偶数个数据中间位置两个数据的平均数才是中位数，说法C错误；

D.方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法D正确，故选D.

【策略归纳】本题考查了随机事件与必然事件、概率的意义、中位数的求法、方差的性质，熟练掌握相关的概念、性质和方法是解决这类问题的关键.

例2 为了“天更蓝，水更清”，某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如

下表格和一幅不完整的条形统计图：

空气污染指数（ω）天数（t）30 40 70 80 90 110 120 140 1 2 3 5 7 6 4 2

说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染……

根据上述信息，解答下列问题：

（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数________，中位数________；

（2）请补全空气质量天数条形统计图（图1）；

（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图（图2）；

（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动.请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

空气质量天数条形统计图

图1

空气质量天数扇形统计图

图2

【解答】（1）在这组数据中90出现的次数最多，为7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数都是90，其平均数也是90，所以这组数据的中位数是90.

（2）由题意得轻度污染的天数为30-3-15=12（天），补全空气质量天数条形统计图如图3所示.

空气质量天数条形统计图

图3

空气质量天数扇形统计图

图4

（3）由题意知，“优”所占圆心角的度数为3÷30×360=36°，“良”所占圆心角的度数为15÷30×360=180°，“轻度污染”所占圆心角的度数为12÷30×360=144°，制作扇形统计图如图4所示.

（4）该市居民一年（以365天计）中适合做户外运动的天数为18÷30×365=219（天）.

【策略归纳】本题是一道数据分析题，考查了中位数，众数，条形统计，扇形统计图，样本估计总体思想等知识的运用，解决这类问题要理解相关概念，会读取图表中的有用信息，掌握不同统计图的特征及其绘制方法，能用样本估计总体的思想解决问题.

例3 某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表.

频率0.06 0.14 0.28 n 0.18 0.06 0.02身高（cm）分组152≤x＜155 155≤x＜158 158≤x＜161 161≤x＜164 164≤x＜167 167≤x＜170 170≤x＜173频数3 7 m 1 3 9 3 1

根据以上统计图表完成下列问题：

（1）统计表中m=________，n=________，并将频数分布直方图补充完整；

（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在_______范围内；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人来自相同班级的概率.

频数分布直方图

图5

【解答】（1）总人数为3÷0.06=50，∴m=50×0.28=14，n==0.26.补充频数分布直方图如图6所示.

图6

（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内；

（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图7所示：

图7

【策略归纳】本题考查频数与频率的关系、频数分布直方图画法、中位数的确定和用列表或画树状图求概率等知识.解决这类问题要准确记忆并运用有关公式，理解不同统计图表的特征，会读会画会算，能灵活选择用列表或画树状图求概率.

例4 新星公司到某大学从应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按5∶3∶2的比例记入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如下表所示.

得分 项目应聘者A B C D专业知识85 85 80 90英语水平85 85 90 90参加社会实践与社团活动等90 70 70 50

（1）写出4位应聘者的总分；

（2）就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分，分别求出三项中4人所得分数的方差；

（3）由（1）和（2），你对应聘者有何建议？

【解答】（1）应聘者A总分为86分，应聘者B总分为82分，应聘者C总分为81分，应聘者D总分为82分.

（2）4位应聘者专业知识测试的均分为85，方差为12.5；4位应聘者英语水平测试的均分为87.5，方差为6.25；4位应聘者参加社会实践与社团活动等的均分为70，方差为200.

（3）应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大，影响最后成绩，也影响就业.学生不仅要注重自己的文化知识的学习，更应注重社会实践与社团活动的开展，从而促进综合素质的提升.

【策略归纳】本题中反映应聘者的成绩的统计量较多，从数学的角度考虑，可以比较总分、平均分、极差、方差、标准差等统计量，不同的统计量从不同的角度刻画了数据的特征，如：平均数反映的是数据的平均情况，极差反映的是最大值和最小值之间的差距，方差和标准差则反映的是各数据的稳定性.因此在实际问题中，取决于公司对应聘者在每个方面的特殊要求.在提出建议时，既要注意到共性，又要注意到个性，使提出的建议具有针对性.

江苏省兴化市昭阳湖初级中学）