用方程解决锐角三角函数问题

刘 欢

用方程解决锐角三角函数问题

刘 欢

在解决锐角三角函数相关问题时，需要寻找已知与未知之间的等量关系，通过设元，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想.方程思想在初中数学的多个知识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易于求解.

一、理解定义，巧妙设元

【方法探究】此题考查了三角函数的定义.方法一通过设未知数表示出三角形的三边，再根据定义求出.方法二利用同角三角函数间的基本关系：sinA2+cosA2=1，求出sinA的值.

需要指出的是如果题目中的角是特殊角，用特殊值法较方便.

二、化斜为直，设一表多

例2 如图1所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度.（结果保留根号）

图1

【方法探究】此题考查了俯角的定义、解直角三角形.在没有直角三角形的条件下，要注意借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

解：过点C作CD⊥AB于点D，

设CD=x，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x，

图2

答：飞机飞行的高度为（53-5）km.

三、触类旁通，举一反三

例3 如图3，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上，测得此时影长MF为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H.他在同一灯光下的影子恰好是HB.图中线段CD，EF，GH表示小明的身高.

（1）请在图中画出小明的影子MF；

（2）若A、B两地相距12米，则小明原来的速度为________.

图3

【方法探究】本题考查了相似三角形的应用：如何从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长.（1）利用中心投影的定义画图；（2）设小明原来的速度为xm/s，根据相似三角形的判定方法得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，则，然后解方程解决.解：（1）如图4，

图4

（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2x（m），AM=AF-MF=（4x-1.2）m，EG=2×1.5x=3x（m），BM=AB-AM=12-（4x-1.2）=（13.2-4x）m，

∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，

∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，

解得x=1.5，

经检验x=1.5为方程的解，

∴小明原来的速度为1.5m/s.

例4 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1∶2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

图5

【方法探究】此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.首先表示出AF的长，进而得出BC的长，再表示出，利用EB=BC+CE求出答案.

解：过点A作AF⊥DE，

锐角三角函数是几何与代数的完美载体，是典型的数形结合的内容.而方程这个工具也同样可以把代数与几何这两项完美地结合在一起，从而解决问题.在解决几何问题时要善于挖掘隐含条件，通过构造方程来解决问题.

江苏省宿迁市钟吾初级中学）