厘清锐角三角函数中的边、角、形

金文卫

厘清锐角三角函数中的边、角、形

金文卫

正确理解锐角三角函数的定义是学好锐角三角函数的基础，如果对锐角三角函数中的边、角、形概念及相互关系理解不准确，就会出现诸多错误，如特殊角的三角函数值混淆，或在非直角三角形中想当然直接求解，或审题思路不清，或思考不周全、分类不全面等.现对一些常见的因概念理解不清产生的错误解答加以剖析.

一、忽略直角三角形存在性

例1 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则tanB=________.

【错误解法】解：如图1，在△ABC中，

图1

【错解分析】锐角三角函数是在直角三角形中定义的.本题中求tan∠B的值，而∠B所在的三角形不是直角三角形，就不能直接用三角函数定义去求解.解决这类问题通常有两种方法：1.构造直角三角形；2.等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题中没有直角三角形，忽视直角三角形的存在性，因此导致解法错误.

【正确解法】解：如图2，作AD⊥BC于D点，

∵AB=AC，∴BD=CD=6，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，BD=6，

由勾股定理得

图2

例2 如图3，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，求BC的长.

【错误解法】在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，

图3

【错解分析】此题只给出条件“△ABC”，并没有给出关于直角三角形的任何条件，在解答时，直接根据三角函数定义给予解答，导致错误的产生.本题要么先证出直角三角形，要么另作垂线构造直角三角形，然后再根据正弦定义进行求解.

【正确解法1】如图4，作BD⊥AC于D点，则∠BDA=90°，∴

图4

【正确解法2】如图5，过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=90°，∠BHC=90°，

图5

在Rt△BHC中，∴BC=CH2+BH2=3.

【启示】数学问题的解决必须具备一定的条件背景，像解决有关三角函数问题就必须在直角三角形前提条件下解决.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.

二、忽略边角确定性

例3 在等腰△ABC中，AB=5，BC=4，则sinA=________.

【错误解法】如图6，作CD⊥AB于D点，

图6

【错解分析】题干中只给出条件“等腰三角形”，并没给出哪两条边是腰，而本题在解答时却默认为AC、BC是腰，导致本题解答产生错误.本题应该分AC、BC为腰和AB、AC为腰两种情况分别进行解答，才能使本题得到完整的解答.

【正确解法】解：（1）当AC、BC为腰时，即AC=BC=4，如图7，作CD⊥AB，交AB于点D，

图7

（2）当AB、AC为腰时，即AC=AB=5，

如图8，作BD⊥AC，交AC于D点，

图8

设AD=x，则CD=AC-AD=5-x，

【启示】通过添加辅助线，构造直角三角形，把非直角三角形问题转化为直角三角形问题，是求锐角三角函数的常用方法.但对一个三角形中边角没有确定时，必须要分类，即解答时能根据题意将各种情况罗列出来，分别进行解答.

三、忽略直角三角形形状的多样性

例4 在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，求∠BAC的度数.

【错误解法】如图9，过A点AD⊥CB于点D，∵在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=2，

图9

∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴∠CAD=45°，

∴∠BAC=∠BAD＋∠CAD=60°+45°=105°.

【错解分析】本题已知三角形中两边和其中一边的对角，但题目中一没给出具体图形，二没说明∠BAC是锐角还是钝角，即三角形形状不确定，所以解答时直接将∠BAC作为钝角考虑，导致解答不全.要完整正确地解答此题，必须分清图形形状，即∠BAC是锐角还是钝角，然后再分别解答.

【正确解法】根据题意画出草图，并作AD⊥CB，垂足为D.

∵在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=2，

∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，

在Rt△ADC中，AC=2 ，

∵AC＞AD，

∴点D在线段BC上，或在BC延长线上.（1）当点D在线段BC上时，如图10所示，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

图10

（2）当D点在BC延长线上时，如图11所示，则∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

综上所述，∠BAC的度数为105°或15°.

图11

【启示】像这样已知两边和其中一边对角的三角形，其形状不唯一，在实际应用时，往往忽略高在三角形外，即第二种情况.恰当应用分类讨论思想是解决此题的关键.

小试牛刀

1.已知某等腰三角形的面积为2，腰长为 5，底角为α，求tanα的值.

2.如图，在△ABC中，点D为AB中点，DC⊥AC，sin∠BCD=，求tanA.

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江苏省宿迁市钟吾初级中学）