整理易错环节增强学习信心

李先永

整理易错环节增强学习信心

李先永

转化思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，划归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想.因此转化思想是初中代数、几何的一种重要的数学思想.在锐角三角函数题中，有许多问题的解决涉及转化思想，现归纳如下，供大家参考.

一、通过角的转化解决三角函数求值问题

1.运用网格转化.

例1 在如图1的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 .

图1

【方法探究】解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答.根据平移的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过把∠BOD转化为∠BO′D′的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决.

解：平移CD到C′D′交AB于O′，如图2所示，则∠BO′D′=∠BOD，

图2

∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，

设每个小正方形的边长为a，

∴tan∠BOD=3.

故答案为：3.

2.利用相似转化.

例2 如图3，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.

（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值.

图3

【方法探究】（1）连接OC，若求DC=BC，可以证明∠CAD=∠BAC，进而证明

（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证△ACE∽△ABC，求得EC，再利用勾股定理计算出ED，最后在Rt△CED中根据三角函数的定义就可求出tan∠DCE的值.

（1）证明：连接OC，如图4.

图4

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE=90°.

∵AE⊥CE，∴∠AEC=∠OCE=90°，

∴OC∥AE，∴∠OCA=∠CAD，

∴DC=BC.

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

3.利用共圆转化.

例3 如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 .

图5

【方法探究】本题解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE.由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE，S△AEC=2S△AOE=10，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度，然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果.

解：如图6，连接EC.

由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，

图6

二、利用相似转化边的比例，解决三角函数求值问题

例4 如图7，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，CD∶DB=1∶2，则tan∠B=

______.

图7

【方法探究】本题通过作辅助线，构造比例线段进行转换.根据题中所给的条件，延长BA到E，在直角三角形中解题.根据三角函数定义和平行线分线段成比例定理，把AE∶AB转化为AC∶AB求解.

解：如图8，延长BA到E，使AE=AC，连接CE，则∠E=∠ECA=45°.

图8

∵∠CAD=∠BAD=45°，

∴∠E=∠BAD=45°，∴CE∥AD，

∴CD∶BD=AE∶AB.

∵AC=AE，∴CD∶BD=AC∶AB，

例5 如图9，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，则cos∠DPB=____.

图9

【方法探究】本题先利用因式分解法解方程得到AB=4，CD=3，再根据圆周角定理得∠PCD=∠PAB，∠CDP=∠ABP，则可判断△PCD∽△PAB，利用相似的性质得连接BD，由AB是半圆O的直径得到∠ADB=90°，然后在Rt△PDB中根据余弦的定义求解.

解：解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，则AB=4，CD=3，

∵∠PCD=∠PAB，∠PDC=∠PBA，

∴△PCD∽△PAB，

连接BD，如图10，

图10

∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，

由此可见，遇到一些不能直接利用定义求解锐角三角函数的问题时，我们通常可以用转化的数学思想来解决问题，比如利用同圆中圆周角相等来转化角，利用平行转化角，还可以用相似来转化角或转化边的比例，具体的问题还要具体对待.

江苏省宿迁市钟吾初级中学）