利用基本图形解三角形

李 媛

利用基本图形解三角形

李 媛

图形，是几何学科的研究对象，而出现在几何问题中的每一个几何图形，无论是怎样的简单还是怎样的复杂，经过观察和分析，都一定可以发现这样一个事实：即它是由一个或者若干个最简单、最基本也是最重要的图形组合而成的.如能在一些较复杂的图形中辨认出或者构造出这些基本图形，从而根据基本图形的性质，择取有用的信息和结论，就能迅速地找出解题思路和方法.

一、准确地辨认、提取基本图形是解决问题的基础

例1 （2017·黄石）如图1所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为________米.

（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：

图1

【分析】求线段AB的长，只要抓住图形中的两个基本的直角三角形：Rt△ADB和Rt△ABC，但由于每个直角三角形中除了直角外都只有一个已知的锐角，所以只利用其中的一个基本图形无法求出所需要的线段或边的长度.由于要求的线段AB是Rt△ADB和Rt△ABC的公共边，若设AB=x，由∠ACB=45°得BC=AB=x，又BD=BC+CD，所以BD=x+100，根据tan∠ADB=可得关于x的方程，解之可得答案.

解：设AB=x，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=AB=x，

则BD=BC+CD=x+100，

在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，

解得：x=50+503≈137.

即建筑物AB的高度约为137米.

二、正确地完善、构造基本图形是解决问题的关键

例2 （2016·绍兴）如图2，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图3.求出这段河的宽.（结果精确到1m，备用数据

图2

图3

【分析】作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=x，根据正切的定义，用含x的代数式表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可.

解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，

设BD=x，在Rt△BCD中，∵∠BCA=30°，

图4

在Rt△ABD中，∵∠BAD=45°，

∴AD=BD=x，

答：这段河的宽约为82m.

【点评】“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线段（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）.

根据问题中出现的应用条件，找到基本图形，这时就会出现两种情况：一是所有分析、找到的基本图形都是完整的，这样应用这些基本图形的性质就不会有什么困难，问题自然也就得到了解决，这时也就不存在添辅助线的问题，如例1；二是在分析、找到的基本图形中，有一个或者若干个是不完整的，这样在应用这些基本图形性质的时候就会很困难，从而就要求我们在应用这些基本图形的性质之前，必须要先将不完整的基本图形补完整，这就出现了添辅助线的需要.由此也就可以发现：添辅助线的实质也就是将不完整的基本图形补完整的问题，如例2.这时讨论添辅助线的问题时，我们的着眼点已经不再聚焦在作为图形的局部的“线”上，而是着眼到一个完整的“图形”上.因此，添辅助线也已经不再仅仅是一个添线的问题，其实质应是一个补图的问题，是一个基本图形完整化的问题.

在中考试题中，关于解三角形的问题，只要大家能主动联想熟悉的基本模型，抓住直角三角形，找准线段之间的关系，问题就很容易解决了.

江苏省宿迁市钟吾初级中学）