“锐角三角函数”难点透析

刘春阳

“锐角三角函数”难点透析

刘春阳

锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，其涉及的知识点和数学思想方法较多.下面就三角函数的难点和解决问题的办法进行解读，希望对同学们有所帮助.

难点一 锐角三角函数的概念

例1 （2017·绥化）某楼梯的侧面如图1所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）.

图1

【难点】锐角三角函数正弦的概念.

【解析】在Rt△ABC中，根据正弦的概念可知sin∠BCA等于∠BCA的对边与斜边的比，即3.5sin29°（米）.

【答案】选A.

难点二 特殊角的三角函数值

例2 （2016·衢州）如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（ ）.

图2

【难点】特殊角的三角函数值.

【解析】连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得sin∠E的值.

图3

解：连接OC，如图3，

∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE.

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，

故选A.

难点三 解直角三角形

例3 （2016·绍兴）如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）.

图4

【难点】解直角三角形.

【解析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=3BC=，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出A在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果.

【答案】选B.

难点四 锐角三角函数在实际问题中的应用

1.构建两个直角三角形和一个矩形.

例4 （2016·海南）如图5，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）.

图5

【难点】锐角三角函数的应用——仰角、俯角、坡度、坡角问题.

【解析】（1）在直角△DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；

（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到△BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长.

解：（1）在Rt△DCE中，DC=4，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，

∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠DBF=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x，

∵四边形DEAF为矩形，

∴AF=DE=2（米），即AB=（x+2）米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

DC=4，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°.

在Rt△BCD中，根据勾股定理得：

解得：x=4+43或x=4-43（舍去），

∴AB=（6+43）米.

2.构建多个直角三角形.

例5 （2017·荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高.他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E，F，D在同一条直线上.求旗杆AB的高.（计算结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.41， 3=1.73）.

图6

【难点】解直角三角形的应用.

【解析】过点C作CM⊥AB于M，如图6，则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题.

【答案】旗杆AB的高度约为18.4米.

解决锐角三角函数的应用问题，要把实际问题转化为数学问题，构建直角三角形问题来解决，这也体现了“转化”“建模”的数学思想.

江苏省宿迁市钟吾初级中学）