让思维可见 让学习发生

张玉平

[摘 要]为了让数学课堂体现数学的思维价值，为了让学习真正发生，教师要让学生充分经历推理的过程。以“圆的周长”的教学片段为例，教师要为学生搭建思维推理的平台，引导学生亲身经历观察、猜想、验证等过程，才能使学生的思维从直观走向抽象，从底层走向高层。

[关键词]数学教学；数学思维；数学推理

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）29-0024-02

张奠宙与赵小平教授在《当心“去数学化”》一文中指出：“君不见，评论一堂课的优劣，只问教师是否创设了现实情境？学生是否自主探索？气氛是否活跃？是否分小组活动？用了多媒体没有？至于数学内容，反倒可有可无起来。”尽管充满了美丽的词语，如“自主”“探究”“创新”“联系实际”“贴近生活”“积极主动”“愉快教学”等，但我们应该始终牢记这一点，“任凭‘去数学化的倾向泛滥，数学教育无异于自杀！”

【教学片段一】

师（在黑板上画好一个圆（没有标出圆心））：这是一个圆，我忘记圆心在哪里了，怎么找到它的直径呢？

生1：连接圆上任意两点得到一条线段，量出它的长度，找到它的中点，垂直画下来就能找到圆的直径。

师：还有别的方法吗？

生2：可以把它想象成一张纸，将它对折；也可以拿一张纸覆盖在上面，描出这个圆后再对折。

师：说得很好！通过想象把黑板折起来。谁还有其他的方法？

生3：可以在圆外画两条直线。

师：这两条直线要怎么样？

生3：两条直线要平行。

师：这个方法很好，它就是我们的工具卡尺的量法。

生4：找出圆外两条平行线之间的最小距离就是直径。

师：这样找圆心就容易了吧？

【自悟：如何让复习或检测不是简单的重复，而是让学生在回顾中再提升？这个问题值得研究。在此，我通过设计一个找圆心的活动开启学生的思维之旅。学生给出的三种方法中，后面两种在我的预设之中，而第一种方法，通过课后访谈得知该学生是从她爸爸那里学来的，这种方法已经是初中几何的知识了。在接下来找圆心的过程中，我把半径和直径的概念有机地融为一个整体，这样的认识是网状结构而非点状的，能有效地促使学生自主建构知识，形成完整的知识框架。】

【教学片段二】

师（让学生在已画好的一个圆中找到直径后，教师用三角尺的60°角沿直径画了一个三角形）：你觉得张老师要提什么问题？或者你有什么想法？

生1：为什么要画三角形？

生2：这个圆里可以画多少个这样的三角形？

生3：这个三角形的周长是多少？

生4：这个三角形的面积是多少？

师：我们要学了圆的面积后再研究三角形的面积。

生5：这个三角形有什么特殊的地方？

师：你觉得有什么特殊的地方？

生5：老师用的是三角尺中的60°角画的角。

师：生5观察得非常仔细，她看到我是用60°的角来画的。学习不光要听，还要观察，观察后还要思考。从这个角度考虑，它是一个什么三角形？

生6：是一个等边三角形。

师：你量过吗？

生6：没有。

师：你没有量过，张老师也没量过，只知道其中一个角是60°，你怎么就能确定三角形OAB是等边三角形呢？能给出理由吗？给大家30秒的时间想想为什么是等边三角形，同桌之间可以讨论交流。

生7：这三个角的度数都是60°。

师：你是从等边三角形的三个角都是60°，或者说每个角都是60°的三角形肯定是等边三角形出发考虑问题的？

生8：一开始是用60°的角画的，之前说过“三角形的内角和都是180°”，用180除以3，每个角就是60°，所以是等边三角形。

师：你心里已经默认了三个角都是相等的，所以得到180°除以3等于60°。

生9：用60°的三角板去量一下。

师：量一下是可以的，但是这样能说清楚问题吗？

生10：因为还有两条边是相等的。

师：哪两条边是相等的？请指一指。

生10：OA、OB这两条边都是圆的半径。

师：圆心到圆上任意一点的距离都是半径，怎么知道AB这条边也和半径一样长呢？

生11：因为如果有两条边相等的话，它就是一个等腰三角形。因为下面两个角的度数是一样的，且它们的度数之和是180°-60°=120°，所以它们的度数都是120°除以2，都等于60°。所有的角都相等，都是60°，所以是等边三角形。

师：等腰三角形的两个底角就应该相等。 120°除以2等于60°，说明两个底角都是60°。由180°减去60°等于120°，再用120°除以2等于60°，这个過程看起来只是一小步，但是生11带着我们跨进了一大步。

师：现在我把他的思路再说一说。这个角是60°，这两条边是半径，所以两边相等，可以知道这是一个等腰三角形。等腰三角形的两个底角应该是相等的。三角形内角和是180°，180°减60°等于120°，120°除以2就等于60°，每个底角都是60°，这样三个角都等于60°，说明它是等边三角形。

师：我们用这么长的时间来说明这是一个等边三角形，你从中能否感受到快乐？现在请大家继续思考，可以画多少个这样的三角形？

生（齐）： 6个。

师：画出6个三角形，就能看到这个圆里面有一个正六边形。看看这个正六边形的周长和这个圆的周长有什么关系？谁长谁短？endprint

生12：圆的周长长。

师：显然圆的周长比6r多一些。还可以怎么说？

生13：圆的周长比3d多一些。

师：对，圆的周长比6r多一些，也可以说圆的周长比3d多一些。

【自悟：探索圆的周长和直径的倍数关系是本节课的重点。以前的教材都是让学生先去测量大小不同的圆的直径和周长，再通过计算得到近似数。而学生在测量中往往由于材料的原因或是操作的原因得出误差很大的结论，这对学生认识圆周率的确定性反而造成了不利的影响。想到用圆内接正六边形的方法来证明圆的周长比直径的三倍多一点，这是源于在之前的教学中布置给学生的一个任务“你能用什么方法说明圆的周长比直径的三倍多一些？”其中有一個学生就用了这样的方法，现在新修订的教材也给出了这样的图示。但是如何让学生经历这样的推理过程呢？是浅显的直观还是严密的逻辑？我想应该选择后者。因为通过动手测量圆形物体表面的周长，抑或是通过滚一滚的方式，虽然能加深学生的体验，但通过这些方式得到圆周率是十分困难的。

我用大量的时间让学生去证明所画的三角形是一个等边三角形，这个证明过程看似简单，但因为学生对图形的认知普遍是靠“看”，因此调动学生所有的知识储备去进行严谨的证明，看上去有点“残酷”，但这却是学生思维迈出的一大步：从直观思维走向逻辑推理思维。学生观察、思考，用数学的思维方式去发现蕴藏其中的数学问题，教师用数学知识本身的魅力吸引学生，使学生感悟到数学的内在美，正是在这样一种润物无声的深度对话和思辨过程中，数学的美化作为学生再思考的力量源泉。】

【教学片段三】

师：请大家再想一想我们现在学的圆的周长和以前学的长方形和正方形的周长有没有联系？我来画张图，长方形的周长c除以（a+b）等于2；正方形的周长c除以a等于4。

师：如果让你来选择，你会用长方形还是正方形来剪一个圆？

生1：正方形。

师：为什么？

生1：3.14更接近4。

师：大家都听明白了吗？因为圆周率更接近4，所以你也会选正方形是不是？

师：数学家就是数学家，喜欢看数字，3.14更接近4。大家下课后可以试一试。

【自悟：推理作为一种演绎系统，一方面使得数学内容与逻辑意义相关联，另一方面可利用从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法，再去获取更多的知识。教师要引导学生去寻找、发现和探索知识之间的相互联系，因为这是学生良好思维品质的建构与生成的必经之路。学完圆的周长，再与以前学的长方形周长和正方形周长的公式进行比较，学生自然能更深刻地理解规则图形中的规律性，这就是数学教学的本质所在，也是课程标准所追求的目标：用数学的眼光去观察、用数学的知识去说明、用数学的方式去分析、用数学的思维去处理。因为只有拥有思考，才会拥有数学文化的力量。】

总之，教师在教学中要尽力为学生搭建思维推理的平台，通过引导，使学生的思维一步步向数学的本质靠近。因为只有亲身经历观察、猜想、验证等推理的过程，学生的思维才能从直观走向抽象，从底层走向高层，真正走向思维的更深处。

（责编 金 铃）endprint