求数列通项公式的几种常用方法和策略

韩义成

(甘肃省积石山县积石中学，甘肃 临夏 731700)

求数列通项公式的几种常用方法和策略

韩义成

(甘肃省积石山县积石中学，甘肃 临夏 731700)

数列是必修模块中重要内容之一，数列通项公式的求解是做数列题的基础.本文主要介绍了数列通项公式求解的几种常用方法：观察法、定义法、公式法、累加法、累乘法、构造法等，这些方法是高中求数列通项公式的基本方法，使我们必须理解和掌握的.

数列；通项公式；方法

数列是高中数学中重要的模块之一，以数列为载体可以培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力和分析解决问题的能力.高考对数列知识的考查从未间断过，而且在前几年，很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题.数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等；而有了数列的通项公式便可求出数列中的任一项及前n项和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.

1.观察法

即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式，然后利用数学归纳法加以证明即可.

若b=1，求a2,a3及数列{an}的通项公式．

2．定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.

例2 (2015年北京文科)已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？

解(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,…).

(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.

3．公式法

例3 (2015年山东理科)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3.

求数列{an}的通项公式.

4．累加法

当递推公式为an+1=an+f(n)时，其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解由题意得：

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

5．累乘法

6.构造法

例6 (2014年新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

例7 (2007年天津文科)在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1.求数列{an}的通项an.

解由an+1=4an-3n+1 得an+1-(n+1)=4(an-n).又a1-1=1， 所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列，所以an-n=4n-1，即an=4n-1+n.

(6)当递推公式为an+1=panr(其中p,r为常数)时.①若pgt;0,angt;0，可用对数法，即等式两边同时取对数，转化为lgan+1=rlgan+lgp形式求解.②若plt;0，可用迭代法求解.

(Ⅰ)证明anlt;an+1lt;2,n∈N；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an.

解(Ⅰ)略.

解(1)略.

(2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),

所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，

即 4an+2+an=4an+1(n≥2).

因为4a3+a1=4a2，所以4an+2+an=4an+1.

[1]高中新课程学习指导编写组.高中新课程指导-数学[M].郑州：大象出版社，2015.

[责任编辑：杨惠民]

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1008-0333(2017)25-0043-03

2017-07-01

韩义成(1973.4-)，男，汉族，中数高级教师，从事高中数学教学研究工作.