Banach空间中发展算子一致指数稳定的新标准

岳 田， 宋晓秋

(1.湖北汽车工业学院 理学院， 湖北 十堰 442002； 2.中国矿业大学 数学学院， 江苏 徐州 221116)

Banach空间中发展算子一致指数稳定的新标准

岳 田1*， 宋晓秋2

(1.湖北汽车工业学院 理学院， 湖北 十堰 442002； 2.中国矿业大学 数学学院， 江苏 徐州 221116)

利用Lyapunov范数给出了Banach空间中发展算子的一致指数稳定性的新的Datko型标准，所得结果推广了指数稳定性理论中的已有结果．

一致指数稳定性； 发展算子； Lyapunov范数

关于Lyapunov范数的概念首先由Barreira与Valls[9]在研究非一致指数压缩的容许性条件时所提出， 随后文献[10]利用该范数得到了线性斜积半流一致指数稳定的Datko型结论， 从而拓展了Datko定理. 本文将在上述文献基础之上， 借助Lyapunov范数， 探讨Banach空间中发展算子一致指数稳定的Datko型定理.本文构成如下， 在第1节给出文后需要的预备知识， 在第2节中讨论发展算子的一致指数稳定性的Datko型充要条件， 从而推广文献[3]和[10]中的结果．

1 预备知识

定义1称Φ(t，t0):Δ→B(X)为X上的发展算子，如果它满足如下4条性质：

(i)Φ(t，t)=I，∀t≥0；

(ii)Φ(t，s)Φ(s，t0)=Φ(t，t0)，∀(t，s)，(s，t0)∈Δ；

(iii)Φ(·，t0)在[t0，∞)上连续；

定义2[9]设x∈X，t0≥0. 称映射x+定义了Lyapunov范数，如果

(1)

注1易知对∀t0≥0，x∈X，有下面不等式成立：

仅对于注1(ii)进行说明，事实上

定义3发展算子Φ(t，t0)称为一致指数稳定的如果存在常数N>0和v>0使得对所有t≥t0≥0和x∈X，有

(2)

2 主要结果

定理1发展算子Φ(t，t0)一致指数稳定的充要条件是存在两个常数h>0和q∈(0，1)使得对每个x∈X和t0≥0存在τx，t0∈(0，h]满足

(3)

(4)

综上可得，Φ(t，t0)是一致指数稳定的．

定理2发展算子Φ(t，t0)一致指数稳定的充要条件是存在两个常数K>0和p>0使得对任一x∈X及t0≥0，有

(5)

证明必要性.由定义3立即可得．

充分性. 对于任一x∈X及t0≥0，设t≥t0+1，τ∈[t-1，t]. 则

故有

进一步地，

如果t∈[t0，t0+1)，则

综上可得

现在设t≥t0，τ∈[t0，t]. 则有

对任一x∈X及t0≥0成立. 进而

进一步地，

故

定理3发展算子Φ(t，t0)一致指数稳定的充要条件是存在W:+×X→+及常数K′，p>0使得对于任一x∈X及(t，t0)∈Δ，有

(6)

(7)

充分性.由于

进而

对任一x∈X及t0≥0成立，利用定理2可得Φ(t，t0)是一致指数稳定的．

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[11] 葛照强， 朱广田， 冯德兴. 退化C0-半群族的指数稳定性[J]. 数学学报， 2011，54(1): 89-96．

[12] 葛照强， 冯德兴. Banach空间中广义发展算子的一致指数稳定性[J]. 应用数学学报， 2016，39(6): 811-822．

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[14] 岳 田， 宋晓秋. 巴拿赫空间上斜演化半流的非一致指数不稳定性的存在条件[J]. 浙江大学学报(理学版)， 2016，43(2): 181-183．

NewcriteriaforuniformexponentialstabilityofevolutionoperatorsinBanachspaces

YUE Tian1， SONG Xiaoqiu2

(1.School of Science， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan， Hubei 442002;2.School of Mathematics， China University of Mining and Technology， Xuzhou， Jiangsu 221116)

The new Datko type criteria for uniform exponential stability of evolution operators in Banach spaces is obtained via Lyapunov norms. Variants for uniform exponential stability of some well-known results in stability theory are obtained．

uniform exponential stability; evolution operators; Lyapunov norms

O175.13

A

2017-05-27.

湖北省自然科学基金项目(2014CFB629)；湖北汽车工业学院校预研基金项目(2014XY06)；湖北汽车工业学院“本科教学建设与改革”项目(JX201766)．

*E-mail: ytcumt@163.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.05.003

1000-1190(2017)05-0578-03