动中求“变”，变中促“辨”

李相林

摘 要：创新能力是一个国家的核心竞争力，儿童的基本能力与创新能力的中间地带，存在着一条少有察觉却不可或缺的隐形通道，就是辨析力。在比较中明晰实质，在辨别中沟通联系，在分析中融合创新。本文力图从“动”与“变”的纵横聚散中，探寻如何生长儿童的辨析力。

关键词：辨析力；核心素养；数学思想

中国教育已经进入核心素养时代，核心素养落实到数学课堂上，需要找到“人（学生）”，发展“人（学力）”。“辨析力”是强调辨别、分析、批判关联的学习能力。布卢姆在《学习、教学和评估的分类学》中将认知过程分为六种维度：记忆、理解、运用、分析、评价和创造。辨析能力其实是关于理解和分析两个高层次认知过程中比较、区分、组织和归属等综合能力的表现。它是一种能动的“思考型”学力，也是对学生终身发展有益的“DNA”。

笔者尝试从“动”与“变”的演绎中，在教学中基于知识、技能、经验和思想的四个层面生长学生的辨析力。

一、动态生成中演变：基于知识的形成发展辨析力

数学知识形成的核心是理解，而理解是一种心理结构的构造过程。因此知识就是理解状态的某种心理表征，而这个结果又影响下一次知识的形成，构成一个所谓的理解循环。

小学阶段数学知识的形成，一般是具有实际背景的材料经历表象表征，进而抽象化的过程。这一过程不是独立、单一、隔离的，可以从一个更广泛的层面在动态生成中演示变化，辨别知识的本质，分析知识的联系，发展学生的辨析能力。

例如课堂教学片段：苏教版数学三年级（下）“认识小数”。教师直接出示如图1所示的数轴，要求学生填数。

教师提问：第一个点为什么可以用0.1表示？

生1：超过10。

生2：超过0。

生3：是1厘米的。

生4：是1的。

教师未做置评，再次示范讲解。

一个小小的课堂教学片段折射出思维培养的大问题，四名学生不同回答的背后蕴含着四种不同层次的理解，此处不做深究。苏教版数学教材，在各学段均大量出现数轴。每一次数轴的出现既帮助学生直观认识新数的形成，又是一次数体系的自我完善和发展的过程。可以基于数轴知识的形成，在动态生成中演变，在知识的关联和扩张中发展学生的辨析能力。

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一种特定几何图形。由生活中的弹簧秤、温度计到具有表象特征的数字小火车、珠子图、残缺的直尺图，再到抽象的数轴，对数轴的要素学生已经隐隐有所觉察。教学中，在各个时段可以在数轴上进行数知识的动态生成，不断变化完善数知识体系。学生在数轴上建立基本的基数和序数概念后，将数轴沿正方向无限延长，在单位长度上产生更多、更大的自然数，在动态延伸中认识到自然数的无穷；认识自然数后，将数轴上单位长度动态十等分，产生十进制分数，借助十进制分数建立小数的概念，十分之几是一位小数，百分之几是两位小数……认识小数后，将数轴上单位长度动态缩放n等分，生成分数；认识分数后，将数轴从原点向反方向延伸，生成与正数一一对应的负数。从自然数到小数，从整数到分数，从正数到负数，数的知识体系在数轴的缩放伸展之间一次一次地扩张、完善。在这一动态生成演变的过程中，学生在一个更广泛的体系中認识新数，理解整数包含正整数、负整数和0，自然数是0与正整数的集合，小数其实是十进制分数，百分数是一种特殊的分数，更深刻地把握到分数的基本性质可以说明小数的性质，整数数位顺序表与小数数位顺序表是相融相通的……在辨别、比较、区分中明晰各知识区别于相关知识的本质特征，厘清了它们的内在联系，把握它们性质方面的互通互联，逐步发展主动辨析的能力。

很多原理类数学知识的学习，也可以采用动态生成演变的方法，发展辨析能力。可以将长度单位、面积单位、体积（容积）单位、质量单位和时间单位等从更广泛的层面，在动态变化生成的过程中联系、辨析、互通起来，对相关的周长、面积和体积等知识的学习产生联系、融通的作用，从而将辨析能力迁移运用到新的情境中，生成新方法，解决新问题。

二、逆向联动中裂变：基于技能的运用催化辨析力

数学技能是学生在学习数学的过程中，通过训练得以顺利完成数学学习任务的一种行动方式或心智行动方式，可以分为操作技能和心智技能。为了达成技能的熟练化、自动化，日常教学常陷入枯燥单一、机械重复的低层次训练泥潭中。当前，国际上对于高层次数学思维技能的研究相当活跃，具有深刻、灵活、批判、敏捷等技能特征的高层次技能极具创新性。

小学生的数学技能虽然处于基础阶段，也应着眼于未来向高层次思维技能发展。可以从更发散的层面，在练习中逆向设计、裂变衍生，基于技能的运用催化辨析能力。

例如，为了促进学生小数简算技能深刻性、灵活性的迁移蜕变，辨析技能运用背后的性质、规律等，笔者逆向联动，设计了“五变”练习。

一变：将基本练习中的“5.47+1.9+0.53”变为“5.47+1.9 ”，要求学生补充成一道小数简算习题。二变：变“5.47+1.9 ”为“5.47-1.9 ”。三变：变“5.47-1.9+0.53-3.1”为“ ×

+ × ”。四变：变“ × + × ”为“ × + ”。五变：变“ × + ”为“ ×

”。最后，教师要求学生组内互选习题写出关键步骤并说出根据。

一变基本题为半命题，转换了角色，运用加法运算律编题还算简单；二变加号为减号，加法运算律和减法的性质在加减的对比中交融；三变变出乘法分配律的经典模型，对于后进生有了挑战；四变变出乘法分配律的省略形式，对运算律的理解有了更高要求；五变由繁至简，形简意难，涉及拆数及乘法分配律反运用。五次变化，逆向而行，由浅入深，由此及彼，关联辨析。技能运用的难度在习题的精心设计下不断展现，学生的思维技能在每次变化中不断释放，每道题都饱含着学生自己的思考体验，还受到同伴的启发，在辨析中独创，课堂上百花齐放、精彩纷呈。

变换角度，逆向而行，裂变衍生，关联变化，引起学生的学习兴趣，培养学生灵活地运用技能以实现技能的有效迁移。以辨析的观点，從与众不同的“新”角度辨别问题，分析问题背后隐藏的本质联系，产生不同的解题方法和结果，不受常规束缚，富于联想，产生有别于常规正统的创造性思维。

三、真实活动中深变：基于经验的积累生成辨析力

小学生数学活动经验是他们经历数学活动后留下的直接感受、体验和感悟，是知识性成分、体验性成分与观念性成分的“组合体”，是数学活动的产物。没有真实的活动便没有真正的经验，没有深刻的活动便很难有高层次多维辨析的经验。因此，设计和组织好的数学活动成为经验积累的关键。教学中，可以从更深刻的层面，设计组织数学活动，在真实深入的活动中展开变化，将“做”数学的过程与“思考”的过程统一起来，让学生主动深刻地从“经历”走向“经验”，在行为操作的经验和思维操作的经验中关联比较，基于经验的积累，生成辨析能力。

例如，苏教版数学六年级（下）“图形的运动复习”中有一道思考题：如图2，两个同样大的正方形，其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积变了没有？

为了积累丰富多维的活动经验，将操作经验与思维经验关联比较，笔者精心设计了真实深入的数学活动：为学生提供同样大小的红、蓝两种透明正方形塑片及小图钉，要求学生独立有序地进行操作，并在实验操作过程中观察、记录、猜想、推理、验证。

学生按照要求独立进行了真实有序地操作，在亲身经历中，清晰地观察到重叠部分形状在变化，通过重叠部分增减的运动轨迹猜测面积没有变。

在分析验证阶段，学生通过分割、平移、旋转、组合等给出了多种证明方法，如图3。

最后，学生关联辨析多种途径，提出终极方法“旋转十字架”：这个问题本质上可以看成相交于正方形中心且相互垂直的两条直线，无论绕中心怎样旋转，都将正方形四等分（如图4）。

数学活动中，学生做与不做是有区别的，真实深入地做与泛泛地做获得的经验层次也是不同的。对比让学生直接画图解题、用白纸泛泛操作或用课件演示，教师匠心独运地提供利于操作、观察的材料，对活动过程的指挥和干涉却很少，这样可以尽最大可能让学生自主经历探究过程，去感受与体验。这一过程中，学生深刻地经历，外部的感官操作和内隐的心智操作相辅相成，在辨别区分、分类归属中获得丰富、独特、动态且富有创新价值的经验，在“变与不变”的演绎中提升了经验层次，生成操作经验和思维经验相融合的辨析能力。

四、心动想象中聚变：基于思想的感悟生长辨析力

数学思想方法是人们对数学知识和方法的本质性认识，是数学的灵魂。数学思想的生成，有利于学生下位知识的理解和学习，有助于认清形式背后的本质内涵，促进学生良好的认知结构。真正具有思想深度的教学，会将数学的烙印深深地印在学生的内心深处，最终成为一种精神、一种信仰、一种观念。

小学阶段蕴含的数学思想方法主要有：抽象、分类、归纳、转化、模型、数形结合、方程、对应等。教学中，可以从更集中的层面聚焦方法的变化，关联、融通对应方法的精神实质，基于思想的感悟生长辨析能力。

案例：一道错解生长的辨析力。

棱长3 cm的正方体摆成图如5的图形，求表面积和体积。

学生求体积的错误解法：9×6×3+3×3×3。

笔者敏锐地捕捉到这个契机：可不可以将错就错，引发学生思考，辨析感悟背后的数学思想呢？源于学生自身的教学资源更具亲切感和探究性，学生对于这种解法的判断是一致否定。“你能读懂这种解法吗？”教师的质疑引导学生再次审视这种解法。学生很快发现其实这位同学想把这个立体图形分成9×6×3的大长方体和4个小正方体。在这种方法的启发下，学生展开心理想象操作，提出多种解法并做出相应解释：①33×10，用一份数乘份数，在整体由多个相同量组成时很简洁；②9×6×3+33×4，分割成一个规则形体和4个小正方体，需要一定的想象力；③9×9×3+33，转化成一个规则形体和1个小正方体，需要具备转化的意识；④15×6×3，比解法③更进一步，直接将10个小正方体转化为一个大长方体……聚焦反思解法的变化，关联辨析多种方法，学生发现用转化的思想方法来统摄思考，解法上更灵活多变，无论怎样转化，体积是不变的。

“那求表面积是否也可以将形体进行转化？”教师将问题迁移到新的情境。“不能！”学生的第一反应是不能移动小正方体，因为一移动就会多出或少掉一些面，表面积就变了。嘴上这样说，不少同学心里已经展开想象操作，希冀有新的发现。最后，学生将表面积与三视图联系起来，只要保证移动过程中三视图的对应，图形的表面积是不变的，再次深化了对应思想。

在心动想象过程中，聚焦解法的变化，关联辨析多种方法，学生对转化、对应及从整体考虑的数学思想方法有了更深刻的感悟，基于思想的感悟进一步生长了辨析能力，提升了创新力。这种辨析的力量在后面的学习中得到印证，学生在解决课本上用6个相同正方体摆出规定三视图中的两个面时，竟直接通过心动想象快速给出二十几种摆法，聚焦学生一系列的动作变化路径，映射出他们基于整体考虑思想统摄下的一种关联与辨析。

总之，在教学实践中摸爬滚打，于理论学习中上下求索。“在信息的世界里，我们的知识在哪里；在知识的世界里，我们的智慧在哪里？”英国诗人艾略特的沉吟久久回荡在耳际。在高速发展、信息爆炸的时代，生长儿童辨析力也许可以实现数学教育向智慧彼岸的摆渡。