等差数列解题思路与方法初探

马长丰

【摘要】等差数列在数学课程中具有重要地位。历年来，在高考数学以及在公务员的行政能力测试中，等差数列及其应用总能占到一定的比重，因而，在学习等差数列过程中，掌握相关解题思路与方法是很有必要的。

【关键词】等差数列 ； 解题方法 ； 技巧

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）36-0260-01

数列是高中数学学习的重要内容之一，它不仅知识内涵丰富，与其他知识联系紧密，而其应用非常广泛。等差数列是本章中的重点和难点，由于这部分知识公式较多，学生学习起来有一定的难度，心理上存在一些畏惧情绪，因此掌握好的解题技巧，这部分内容就会迎刃而解。本文是在实践教学中总结的一些解题思路和方法，在教给学生基础知识的同时，也要注意方法的传授，这样才能增强学生学习数学的成就感，激发学生对数学的学习兴趣。

一、等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示。等差数列的通项公式为

■；前n项和公式为■或■

■。

二、等差数列的解题思路与方法

1.利用等差数列的性质解题。

等差数列是一种非常重要的数列，特别是它有许多有用且有趣的性质，掌握这些性质对解有关等差数列的题目往往会起到事半功倍的作用。

性质1在等差数列■中，■？圳■。

【例1】 已知等差数列■中，■，则■

■（ ）

A.20 B.22 C.24 D.-8

解：∵■，■

又■，所以选C

解题关键：等式不可能求出■和d，问题看似无解，但巧用性质1，则问题就迎刃而解。

性质2在等差数列中■，若，■且■，则■。

特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap。

【例2】在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则S15=（ ）

A.13 B.26 C.52 D.56

解：∵3+5=4+4 ∴ ■

又7+13=10+10，∴■

结合已知条件等式，得■■

■，

∴■

∴■，故选B

2.以方程的意识，求值问题。

有些求值或化简题，如果纳入方程的思想方法体系，往往方法巧妙，过程简捷。等差数列的通项公式与前n项和公式紧密地联系着五个量■，“知三求二”是最基本的方程运算。

【例3】设■是递增等差数列，前三项的和为12，前三項的积为48，则它的首项是（ ）

A.1 B.2 C.4 D.6

解析题中给出两个相等关系，运用方程的思想方法，设出■和■，依题意列方程组：

（a2-d）+a2+（a2+d）=12（d>0）（a2-d）a2（a2+d）=48得解a2=4d=2（舍去d=-2）

∴a1=2，应选B

【例4】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550，求a及k的值。

分析：已知几个相等关系，运用方程的思想方法求a和k。

解： 依题意列方程组

■解得■

∴■

3.利用二级等差数列及其变式解题。

一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。

解题策略：观察数列特征，大部分二级等差数列为递增或递减的形式；尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序要保持不变；猜测规律、检验、重复步骤直至规律吻合。

【例5】11，12，15，20，27，（ ）

A.32 B.34 C.36 D.38

解题关键：原数列后项减前项构成等差数列，故选C。

【例6】32，27，23，20，18，（ ）

A.14 B.15 C.16 D.17

解题关键：原数列后项减前项构成等差数列，故选D。

【例7】11，13，16，21，28，（ ）

A.37 B.39 C.41 D.47

解题关键：相邻两项之差连续质数，得到质数列，故选B。

【例8】1，2，6，15，（ ）

A.19 B.24 C.31 D.27

解题关键：数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差，相邻两项之差是平方数列，故选C。

【例9】1，4，8，13，16，20，（ ），

A.20 B.25 C.27 D.28

解题关键：该数列相邻两项的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺应为20+5=25，故选B。

以上等差数列的解题思路及方法是在实践教学中总结出来的一些经验，具体到实际问题要举一反三，真正理解等差数列，才能在运用时游刃有余。endprint