例析中考平面几何中常见的最值问题

陈杏

【摘要】本文结合实例对近几年全国中考题中平面几何常见的最值问题进行分析，概括几种常见的最值问题类型并归纳出各类最值问题的解题策略。

【关键词】最值问题 线段 轴对称变换 直径 二次函数

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）08A-0119-03

平面几何的最值问题是指在一定条件下，求平面几何中某个确定的量（如线段长短、角度大小、图形面积等）的最大值和最小值问题。这类常见的题型以平面几何为背景，将各方面的知识融入其中，所涉及的知识面广、综合性强，在近几年的中考中更加趋于综合性及多样性，它以更贴近生活、贴近社会为出发点，有利于实现数学的人文价值和社会价值，充分体现了对学生知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的要求，培养了学生的空间想象、实践分类、建模、数形结合以及转化与化归等各方面的能力。

一、与线段有关的最值问题

中考试题来源于教材，一般是从提取模型、类比模型或变式模型的角度来命题，其中运用“两点之间线段最短”“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”等知识来解决的最值问题，通常被称为“与线段有关的最值为题”。这类问题也是平面几何最值问题中较为常见的一类问题。笔者在中考复习的备考教学时首先从最基本的点与点之间的距离问题入手，引导学生利用“两点之间线段最短”的基本公理解决最值问题。

（一）两点之间线段最短

例1（2015 新疆）如图1所示，某同學的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）

A. A→C→D→B

B. A→C→F→B

C. A→C→E→F→B

D. A→C→M→B

因为两点的所有连线中，有无数种连法，如折线、曲线、线段等，学生在第一眼看到这道题时，很容易想到两点之间的所有连线中线段最短，从点C到B之间的最短距离即为线段CB的长度，故应选择的路线是A→C→F→B。

笔者趁热打铁，给学生展示点到线的距离问题，让学生由“点到点的问题”自然地过渡到“点到线的最值问题”，即“垂线段最短”的公理的运用。

（二）垂线段最短

例2（2016 成都）如图2，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠DAB=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图。

第一步：如图2.1，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿BD上的任意一点E与A的连线AE剪开，得到△ABE和△ADE纸片。

第二步：如图2.2，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处。

第三步：如图2.3，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC的同侧）。则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为 。

这道题的阅读量比较大，笔者引导学生用红笔在图上画出AE，于是图2.3中PM=PN=AE，再证明∠MPN=90°，得出△MPN是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边的关系可知MN=[2]PM=[2PN]=[2AE]。这时学生豁然开朗，原来这是点到线的距离问题，当AE的长度最小时，对角线MN的长度最小，根据“垂线段最短”，所以当AE⊥BD时，AE取最小值，此时MN有最小值。

以上两种最值问题，在以往的中考题中较为常见，学生做题时也比较轻松。当两点之间的线段的最值问题变为三点之间的线段的最值问题时，教师就要引导学生构造三角形、根据三角形的三边关系来考虑这一类最值问题。为此，笔者选取了以下例题。

（三）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

例3（2016 河南）（1）发现：如图3.1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b。填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ；（用含a，b的式子表示）

（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1。如图3.2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形△ABD和等边三角形△ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值；

（3）拓展：如图3.3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°。请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。

对于三角形的三边问题，在中考中以解答题的形式出现的不多，学生做题时也不容易想到。于是，笔者在为学生讲解例3时先复习了构成三角形的条件等相关知识，并引导学生画图分析。有学生马上想到了：当三点不共线时，三角形两边之和大于第三边，即AC

既然有三角形的两边之和的最值问题，一定也应该有两边之差的最值问题。趁着学生做题的热情，笔者选取了例4。

例4（2016 黄岗）如图4，已知点A（1，a）是反比例函数y=[3x]的图象上一点，直线y=-[12]x+[12]与反比例函数y=-[3x]的图象在第四象限的交点为点B。

（1）求直线AB的解析式；

（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标。

第（1）问较简单，学生很快就可以求出直线AB的解析式为y=x-4；第（2）问的难点在于题目改变了以往考查线段之和最短的最值问题，变成求线段之差的最大值的最值问题。學生很难判断点P的位置，笔者举例引导学生：当P不是直线AB与x轴的交点时，在△PAB中，根据三角形中两边之差小于第三边得|PA-PB|

这一类最值问题的本质就是“两点之间线段最短”“直线外一点到直线的垂线段最短”的运用，教师在教学时应引导学生首先明确所求问题是点到点的距离问题还是点到线的距离问题，再利用线段的有关定理和公理进行解答。

二、与轴对称变换有关的最值问题

在初中数学中，对称性主要用于解答图形的变换、折叠以及求最短路径等问题，它能全面地考查学生的空间想象能力、几何变换思想、探究能力和解决问题的能力，其中利用“轴对称”来解决“将军饮马”类问题也成为中考命题的一大闪光点并呈现多种变式问题，笔者认为教师在开展教学时要引导学生关注以下三个问题：①适用的条件，即要有定直线和同侧两定点；②转化的问题，即直线上的点到两定点距离之和最短；③使用的方法，即作两定点中的一个点关于定直线的对称点。为此，笔者在帮助学生备考时选取了最典型的一点关于一直线对称的“将军饮马”问题，旨在让学生回顾知识，为后续教学进行铺垫。

例5（2016 梧州，有改动）如图5，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标。

学生将A、B两点坐标代入解析式可很容易求得抛物线的解析式为y=x2-3x-4。教师带领学生共同分析第（2）问，因为边BD的长度固定不变，所以第（2）问要使△BDE的周长最小，只要求BE+DE最小即可。于是，学生可以将问题转化为八年级学过的“将军饮马”问题：在直线AC上找一点E，使其到点B、D的距离之和最短。如图5.1，作点D关于直线AC的对称点F，连接BF与直线AC交点即为所求。

轴对称的最值问题是几何最值问题中最为活跃的一类题型，是中考的热点题型并呈现出较多的变式，如一点关于一直线对称、一点关于两直线对称、两点关于两直线对称、平移对称等，解决此类问题的关键是在轴对称背景中提取模型条件，通过找到定直线的对称点把同侧线段转化为异侧线段，实现“折”到“直”的转变，最终解决问题。

三、与直径有关的最值问题

在以上几个例题，都是在直线平面图形中讨论最值问题，而在曲线平面图形中同样存在最值问题。圆是中学数学的难点内容、最值问题的求解是中学数学的重点所在，圆的知识与最值问题结合产生的与圆相关的最值问题具有抽象程度高、求解灵活性大的特点。圆中的最值问题常与直径有关，中考中通常借助以下知识点来解决问题：（1）直径是圆中最长的弦；（2）过圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短；（3）弓形弧上的点到弦的距离中，最大距离是该弧的中点到弦的距离……

笔者选用2015年陕西的一道中考题来带领学生进一步讨论这一类最值问题：

例6（2015 陕西）如图6，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 .

学生看到M，N分别是AB，BC的中点后很容易想到MN为△ABC的中位线，所以MN=[12]AC，所以MN最大时，AC的长也为最大，根据圆的性质：圆中最大的弦为直径，故AC经过圆心O时MN的长度最大。

四、与二次函数有关的最值问题

新一轮数学课程改革加强了数学的实际应用性，注意理论与实践问题的结合，把数学知识应用到实际问题中，因此函数最值与实际生活的联系就更紧密了。近几年中考试题中有不少压轴题是利用二次函数建立数学模型，并利用顶点或是自变量的取值范围等相关知识确定最值，实现代数与几何的结合，培养学生发现问题、解决问题的能力。

笔者将2015年福州的一道中考题作为例题，引导学生探究这一类问题的最值问题：

例7（2015 福州）如图7，抛物线y=x2-4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.

（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；

（2）若两个三角形面积满足S△POQ=[13]S△PAQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD·DQ的最大值。

学生很容易求出对称轴是x=2，PQ与x轴所夹锐角为45°；大部分学生能够求出m=-1。笔者鼓励学生思考并解决第（3）问，引导学生画图，通过数形结合来解决问题：①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图7.1，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=∠DQA+∠DAQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH为等腰直角三角形，∴PH=[2]PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6[2]，即PD+DQ的最大值为6[2].②由①可知：PD+DQ≤6[2]，设PD=a，则DQ≤6[2]-a，∴PD·DQ≤a（6[2]-a）=-a2+6[2]a=-（a-3[2]）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3[2]，∴PD·DQ≤18.∴PD·DQ的最大值为18.

通过对上述几个中考例题的剖析，笔者发现在几何中的最值问题形式多样，大致可以分为两类：一类是直接应用几何知识来解决，一类是利用代数知识间接解决，无论是哪一类，在解题时都需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法，有时也需要突破对固有问题的思维模式，对模型叠加综合，重组创新，这样才能得心应手地解决各种平面图形的最值问题。

（责编 刘小瑗）