新课标高考数学卷第21题函数解答题的特点及解法探略

张 兴 李雪琴

(1.固原市第二中学,宁夏 固原 756000；2.固原市回民中学,宁夏 固原 756000)

新课标高考数学卷第21题函数解答题的特点及解法探略

张 兴1李雪琴2

(1.固原市第二中学,宁夏 固原 756000；2.固原市回民中学,宁夏 固原 756000)

新课标数学卷第21题均为函数综合题.其内容涉及切线、单调极值、求参数范围和证明不等式四大问题.突出考题学生思维的灵活性、敏捷性和数学化归能力.更重要的是这些考查都立足于对通性通法考查的基础之上.本文主要探究解题中的通性通法.

单调性与极值; 参数; 不等式;解题策略

函数是高中数学的重要内容,其观点和方法贯穿了高中数学的全过程.因此函数知识可以有效的承载中学数学核心素养，所以新课标高考试题无一例外，每年的压轴题均为函数综合题.在高考所有数学内容中对函数知识和能力的要求是最高的，所以对函数压轴题的深入研究，既有利于培养学生的数学综合素养，又有利于做好高中数学教学工作.笔者就近十年函数压轴题统计表如下：

通过对表格的分析、归类我们会得到以下几点(1)考查内容涉及切线、单调极值、求参数范围和证明不等式四大问题，基本上每年都是四选二.(2)文科以单调极值为主，切线、求参数次之，涉及不等式的比较少.理科以求参数范围为主，单调极值、不等式问题次之，切线问题涉及比较少.(3)通过对比、分析，就会发现通性通法与灵活化归是解题的主要策略.

一、切线问题

又∵切点(1,b)，∴斜率k=f′(1)=ae，

∴ 切线方程：y-b=ae(x-1).

又∵切线为y=e(x-1)+2，

例3 已知曲线方程为y=x2，求过B(3,5)点，且与曲线相切的直线方程．

解析 求得f′(x)=2x.设切点(a,b),

∴斜率k=f′(x)=2a,切线方程：y-b=2a(x-a).

评析 从数量上看，近十年文、理30套题中出现考查切线问题的共有13个，对知识和能力的考查属于中等层次，都在第一问.主要针对导数的几何意义，涉及过函数表示曲线上某一点的切线，大多数与求参数值结合在一起.观察上述三个小题就会发现其解答过程，代表着知识的形成过程，也符合学生的认知规律.其核心步骤为求导数、写切点(有则写，无则设)、求斜率、写切线、有字母则需列方程和解方程.在这类题的各种解法中，或许有更加简捷的方法，但这种步骤是最基础、最具有普适性的方法.

练习：(2016文(20))已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程.

二、函数的单调性、极值、最值

x(-32，-1)-1(-1，-12)-12(-12，+∞)f′(x)+-+f(x)增减增

例5 (2015文21)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).讨论的f(x)单调性.

解析f(x)的定义域(0,+ ∞),

① 当a=0时，没有拐点，f′(x)>0, ∴f(x)在定义域(0,+ ∞)上是单调增函数.

x(0，1a)1a(1a，+∞)f′(x)+-f(x)增减

∴f(x)在定义域(0,+ ∞)上是单调增函数.

评析 关于函数单调性、极值、最值问题，近十年文、理30套题中共出现了17个，几乎全部都在第一问.其中不含有参数函数的单调性、极值、最值，共有12道题，含有参数函数的单调性、极值、最值共5道题.例4是不含有参数的单调极值问题，解答的基本步骤是求定义域、求导数、求拐点、列表、回答单调与极值的结果.例5是含有参数的单调极值问题，在求拐点时，需要根据参数的取值讨论拐点个数，然后按拐点特征进行分类，其解答的基本步骤依然是域(定义域)、导(导数)、拐(拐点)、表(列表)、答(回答).这类题的第一个难点是何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论参数个数；有的在列表时讨论参数大小.第二个难点是如何讨论参数的取值？简单一点的根据参数本身的特征，比如分式的分母不为零等，复杂一点的需要根据题目的条件，参考自变量的取值范围进行讨论，关键是要做到不重不漏.

练习： (2016文1(21))已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性．

三、求参数范围

例6 (2010文(21))设函数f(x)=x(ex-1-ax)(Ⅰ)略．(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

解析 (Ⅱ)法一：图象法.

当x≥0时f(x)≥0⟹x(ex-1-ax)≥0(其中x≥0)

⟹ex-1-ax≥0(其中x≥0)⟹ex≥1+ax(其中x≥0).

设y1=ex,y2=1+ax(其中x≥0),

则y1图象在y2图象的上方，两个图象都通过(0，1)，只需y1在(0，1)处的切线y2图象的上方.

又因为y1=ex在(0，1)处的切线方程是：y=x+1,

所以x+1≥1+ax恒成立，所以a≤1，即a的取值范围是(-∞,1].

解析(1) (Ⅱ)法二：求参数讨论参数，部分肯定部分否定法.

由题x≥0时f(x)≥0，即f(x)=x(ea-1-ax)≥0.

令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.

∴a≤1适合题意.

当a>1,g′(x)=ex-a=0⟹x=lna.

x(0，lna)lna(lna，+∞)g′(x)—+g(x)减增

∴a>1不合题意，舍去.

解析 化为不等式恒成立求参数，用分离参数求最值法.

f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x-a)2-12a2,

它的图象是关于直线x=a对称的抛物线，

②若a>1,则|f′(a)|=12a2>12a.故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立. 所以a>1不合题意舍去.

评析 函数解答题中求参数范围问题，近十年文、理30套题中共出现了11个，全部都在第二问.这种类型题从条件上看大多为指数型函数的混合函数或复合函数，都是在给定未知数x取值范围的条件下，在一个不等式中求参数的范围.由上面3个小题可知，求参数的取值范围问题有三种解法，第一图象法如例6解法一，其基本步骤是分离函数式(一边化为指数式另一边化为代数式)、构建函数、作出函数图象、根据图象位置建立新的不等式、解不等式.第二讨论参数法如例6解法二，其基本步骤是求函数定义域、求导数、求拐点、列表、利用单调性建立新的不等式、化简不等式确定参数的范围.第三分离参数法如例7，其基本步骤是利用公式a>f(x)⟹a>fmax(x)，把不等式恒成立化为函数最值问题，利用函数单调性求最值、利用建立新的不等式、解不等式求参数.

综上可知解答参数问题时首选分离参数法，能直接分离参数的直接分离参数如例6，不能直接分离的考虑能否分离含有参数的代数式如例7.其次考虑能否使用图象法，关键在于能否分离代数式和指(对)数式，构造函数人出图象如例6法一．最后考虑讨论参数法如例6解法二，这种方法的难点之一是求拐点时需要讨论参数，讨论的标准要有时需要参考x的取值范围；难点之二是根据参数的取值，否定一部分即参数取值不适合条件部分，肯定一部分是参数取值适合条件部分，从而确定参数值的范围.

四、证明不等式(恒等式)

例8 (2013理(21))已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0.

解析(Ⅱ) 当m≤2时,x∈(-m,+∞)，ln(x+m)≤ln(x+2),

∴ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2).

故只需证明当m=2时,f(x)>0,

即f(x)=ex-ln(x+2)>0.

由函数知定义域为(-2,+∞),

又f′(-1)<0，f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x0.

x(-2，x0)x0(x0，+∞)f′(x)-+f(x)减极小值增

综上，当m≤2时，f(x)>0.

评析 函数解答题中关于不等式(恒等式)的证明，近十年文、理30套题中共出现了10个，其中与零点有关的不等式四道题，证明函数不等式的有6道题，都是解答题的第二问.由上例题可知例8题的解答顺序是求函数定义域、求导数、利用函数单调性列不等式、化简不等式、即得要证明的不等式.例9题的解答顺序是化简函数、求函数定义域、求导数、利用函数单调性列不等式、化简不等式、即得要证明的不等式.观察就会发现解答这类题的核心步骤是：构造函数、求导数、列表、利用单调性极值或最值建立新的不等式、化简或解不等式.

综上我们就会发现函数解答题基本上都是两大问题，其中第一小题主要是导数的几何意义或者是导数的函数意义，突出对现代数学内容的考查，属于中、低等层次要求.其中切线问题的基本解答步骤是：导(数)、(切)点、斜(率)、(切)线、列(方程)和解方程.单调极值问题的基本解答步骤是：(定义)域、导(数)、拐(点)、(列)表、(回)答.其中第二小题主要是求参数的范围或者是证明不等式，就其内容在本质上而言属于二元变量函数，求参数范围是控制一个变量的范围，去探究另外一个变量的范围，通常选用分离参数、图象法或讨论参数法.证明不等式题大多数需要构造函数，使用导数的函数意义.这两类题虽然题目内容有时差别很大，方法也大不相同，但解题的本质思想基本相同，其核心步骤是：构造新函数、求其定义域、求导数、求拐点(根据参数取值情况讨论有无拐点)、列表、利用最值建立新的不等式、化简或解不等式.

[1]唐学宁.例析函数选择压轴题的解题策略[J].中国数学研究，2017(5)：23-24.

[2]刘绍学等.普通高中课程标准教科书,数学选修2-2 [M]，北京：人民教育出版,2007.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

张兴(1967-)，男，汉，中学教师，研究方向中学教育教学. 李雪琴(1979-)，女，汉，固原回民中学教师，研究方向中学教育教学.

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