研究一道2017年清华大学能力测试数学题

甘志国

(北京丰台二中,北京 100071)

研究一道2017年清华大学能力测试数学题

甘志国

(北京丰台二中,北京 100071)

本文对2017年清华大学能力测试数学题中的一道集合试题，给予了研究，得到了一般结论.

研究;清华大学自主招生;集合;整数性质

2017年清华大学能力测试已于2017年1月14日举行，试题包括数学与物理两部分，每部分考试时间均为90分钟，学生均在电脑上作答.

数学试题是40道选择题(均为不定项选择题)，且这40道题的顺序对于考生不是固定的(由电脑随机分配给每位考生).

本文将对数学试题中最新颖的一道作详细研究.

题目 若存在满足下列三个条件的集合A,B,C，则称偶数n为“萌数”：

(1)集合A,B,C均为集合M={1,2,3,…,n}的非空子集，A∩B=B∩C=C∩A=Ø，且A∪B∪C=M；

(2)集合A中的所有元素均为奇数，集合B中的所有元素均为偶数，集合M中的所有3的倍数都在集合C中；

(3)集合A,B,C中所有元素的和均相等．

则下列说法中正确的是( ).

A．8是“萌数” B．60是“萌数”

C．68是“萌数” D．80是“萌数”

解 ACD．下面用SX表示非空集合x中所有元素的和.

由“萌数”n为偶数(由(1)中的A,B,C均为非空集合，可得n≥3)，可得“萌数”n只可能是6k,6k+2(k∈N*),6k+4(k∈N)的形式，进而可得n只可能是6k,6k+2(k∈N*)的形式.

若n=6k(k∈N*)，由三个条件可得

矛盾！所以n只可能是6k+2(k∈N*)的形式(得选项B错误).

设C′={3,6,9,…,6k},A′={2m-1|m∈N*,2m-1∈M,且2m-1∉C′},B′={2m|m∈N*,2m∈M,且2m∉C′}.由条件(1),(2)可得C′⊆C,A⊆A′,B⊆B′.

还可得

SC′=3(1+2+3+…+2k)=6k2+3k.

再由容斥原理，可得

SA′=[1+2+3+…+(6k+2)]-2[1+2+3+…+(3k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+6(1+2+3+…+k)

=6k2+6k+1,

SB′=[1+2+3+…+(6k+2)]-[1+3+5+…+(6k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+3[1+3+5+…+(2k-1)]

因为SA=SB=SC=6k2+5k+1，所以把集合A′中和为k的若干个元素取出来剩下的元素组成的集合就是A;把集合B′中和为k+1的若干个元素(因为集合B′中的元素均是正偶数，所以当n=6k+2(k∈N*)是“萌数”时，k必定是正奇数2t+1(t∈N)，因而n只可能是12t+8(t∈N)的形式)取出来剩下的元素组成的集合就是B.把这两次取出来元素都放入集合C′后得到的新集合就是C.

当k=2t+1,n=12t+8(t∈N)时，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,12t+1,12t+5,12t+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,12t+2,12t+4,12t+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(4t+2)}.

ⅰ)当t=3l(l∈N)时，k=6l+1,n=12·3l+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+1,36l+5,36l+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+2,36l+4,36l+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+2)}.易知k=6l+1,k∈A′;k+1=6l+2,k+1∈B′，所以选A=A′{6l+1},B=B′{6l+2},C=C′∪{6l+1,6l+2}后，可得集合A,B,C满足题设，所以12·3l+8(l∈N)均是“萌数”.

ⅱ)当t=3l+2(l∈N)时，k=6l+5,n=12(3l+2)+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+25,36l+29,36l+31};B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+26,36l+28,36l+32};C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+10)}.

易知k=6l+5,k∈A′;k+1=6l+6=2+(6l+4),2,6l+4∈B′，所以选A=A′{6l+5},B=B′{2,6l+4},C=C′∪{2,6l+4,6l+5}后，可得集合A,B,C满足题设，所以12(3l+2)+8(l∈N)均是“萌数”.

ⅲ)当t=3l+1(l∈N)时，k=6l+3,n=12(3l+1)+8(l∈N)，可得

A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+13,36l+17,36l+19},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+14,36l+16,36l+20},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+6)}.易知k+1=6l+4,k+1∈B′.因为k=6l+3,k∉A′,A′中的任两个相异元素之和均是偶数，当l=0,1,2时，k=3,9,15均不能表示成A′中的若干个两个相异元素之和(得此时12(3l+1)+8不是“萌数”)；当l≥3(l∈N)时，k=6l+3=1+7+(6l-5)(6l-5≥13),1,7,6l-5∈A′，所以选A=A′{1,7,6l-5},B=B′{6l+4},C=C′∪{1,7,6l-5,6l+4}后，可得集合A,B,C满足题设，所以此时12(3l+1)+8(l≥3,l∈N)均是“萌数”.

问题 对于本题，当偶数n是“萌数”时，求无序集合A,B,C的组数MSn.

由此结论，可得答案.且还可得：选项A正确，且MS8=1，其中A={5,7},B={4,8},C={1,2,3,6}.选项C正确：且MS68=2，其中A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={2,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={3,4,6,8,9,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}；或A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={4,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={2,3,6,9,10,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}.

选项D正确：且MS80=6，其中A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,4,5,6,7,9,10,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,5,6,7,9,12,14,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={2,3,4,6,8,9,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,4,6,9,10,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,6,9,12,13,14,15,18,21,24,27,…,75,78}.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中学.普通高中课程标准实验教科书(数学选修2-1)[M].北京：人民教育出版社，2008.

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

甘志国(1971.12-)，男，湖北竹溪人，北京丰台二中高级教师，中学特级教师，研究生，从事数学教育、解题研究.

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