一道含参函数问题的若干种解法及其应用

扬州大学数学科学学院(225002) 茆福星 濮安山

一道含参函数问题的若干种解法及其应用

扬州大学数学科学学院(225002) 茆福星 濮安山

最近,笔者的老师给我们上了一节关于一题多解的教学案例分析课.课上,老师先要求我们对案例中的题目独自去解决,然后把我们所有人的解法进行归类讲解,最后带着我们一起去研读教学案例.在笔者的中小学阶段,从未有过对一道题目如此深入的解答的经历.这次课令笔者对一题多解的价值有了切身的体会,也激发了笔者课后继续对这道题的探究.下面是对这道题的解法以及个人一点浅薄的反思和解法在高考题中的应用.

题目 已知函数f(x)=(m−2)x2−4mx+2m−6的图像与x轴的负半轴有公共点,求实数m的取值范围.

解法一 讨论方程的根

解析①当m−2=0,即m=2时,此时f(x)=−8x−2是一次函数.令f(x)=0,得x=−故 m=2满足要求.

②m−2/=0,即m/=2时,此时f(x)是二次函数.因为函数f(x)的图像与x轴的负半轴有交点⇔方程f(x)=0有负根,所以本题可以转换为讨论方程f(x)=0有负根.若方程f(x)=0有负根,则∆≥0,即m≥1或m≤−6,且方程f(x)的两个根 x1、x2,其中有一根小于0,不妨设x1＜0,而另外一根x2＜0或x2=0或x2＞0.

a.当x1＜0,x2＜0时.x1+x2＜0,x1x2＞0,则1≤m＜2.

b.当x1＜0,x2=0时.f(x2)=f(0)=0则m=3.又x1+x2=12,故x1=12＞0,矛盾.

c.当x1＜0,x2＞0时.x1·x2＜0.则2＜m＜3.综合①②,得1≤m＜3.

点评 二次项前的系数含有参数,需要对系数是否为零进行讨论,不要缺失.当系数为零函数就是一次函数.系数不为零时,函数是二次函数.在高中数学教材中明确指出函数图像与x轴有交点,函数有零点和相应的方程有实数根这三句话是两两互相等价.解法一将本题转换为方程根的问题,然后用判别式与韦达定理处理.

应用高考 (2014年安徽卷(理))设函数f(x)=1+(1+a)x−x2−x3,其中a＞0.

(I)讨论 f(x)在其定义域上的单调性;

(II)当 x∈[0,1]时,求f(x)的最大值和最小值时的x的值.

解析 (I)f(x)的定义域为(−∞,+∞),

(II)因为a＞0,所以x1＜0,x2＞0.

①当a≥4时,x2≥1.由(I)知,f(x)在[0,1]上递增.所以f(x)在x=0和x=1分别取得最小值和最大值.

②当0＜a＜4时,x2＜1,由(I)知,f(x)在[0,x1]上递增,f(x)在[x1,1]上递减.所以f(x)在x=x2=处,取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0＜a＜1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1＜a＜4时,f(x)在x=0处取得最小值.

解法二 结合图像求解

解析①当m−2=0,即m=2时,满足要求.当m−2/=0即m/=2时,此时f(x)是二次函数,将函数整理为顶点式:

a.当m−2＞0,即m＞2时,函数图像开口向上.又当m＞2时,

即函数图像的顶点在直角坐标系的第四象限.则若二次函数f(x)的图像与x轴的负半轴有交点,只要满足f(0)=2m−6＜0,即m＜3,故2＜m＜3.

b.当m−2＜0,即m＜2时,函数图像开口向下.若函数图像与x轴有交点,则函数图像的顶点必须在x轴或者在x轴的上方,于是有顶点的纵坐标

点评 数形结合是高中数学中常见的数学思想,“数形结合”处理问题,往往能较便捷地解答出问题.二次函数图像是抛物线,能形象直观地显示出函数的性质.解法二根据函数图像的开口方向和顶点位置来讨论函数与x轴交点情况.因为决定开口方向的m−2和顶点坐标有同一个参数,所以当开口方向确定时,顶点坐标也有了限制.

应用高考 (2016年全国卷 III(理科))设函数f(x)=αcos2x+(α−1)(cosx+1),其中α＞0,记|f(x)|的最大值为A.

(I)求f(x);(II)求A;(III)略.

解析 (I)略;(II)当α ≥1时,|f(x)|≤ α+2(α−1)=3α−2=f(0).因此A=3α−2.当0＜α＜1时,将f(x)变形为

令

则A 是 |g(t)|在 [−1,1]上的最大值,g(−1)= α,g(1)=3α−2,且当,g(t)取得极小值,极小值为

解法三 函数零点的存在性定理

解析①当m=2时,满足要求.当m/=2时,此时f(x)是二次函数.根据题意,函数f(x)的零点中有负数.

综合①②得1≤m＜3.

点评 高中所研究绝大部分函数都是连续的,因此在处理函数零点问题时,函数零点的存在性定理也是常有方法.解法三还利用了二次函数无穷大和无穷小的性质.

应用高考 (2015年广东卷(理))设a＞1,函数f(x)=(1+x2)ex−a.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明:f(x)在(−∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)略.

解析 (1)f(x)单调区间为(−∞,+∞)(过程略).

(2)取 x1=lna,则

取x0=0,则f(x0)=1−a＜ 0.因为由题设及(1)知,f(x)的图像是连续不断的一条曲线,它单调递增,f(x1)＞0,f(x0)＜0.所以f(x)在区间[x0,x1]上仅有一个零点.所以f(x)在区间(−∞,+∞)上仅有一个零点.

解法四 分离参数

解析 令f(x)=0并分离参数得

令

则函数f(x)的图像与x轴的负半轴有交点⇔函数y=m的图像和函数y=g(x)在(−∞,0)有交点.令g(x)=0得x1=−2,则函数g(x)在(−∞,−2)内单调递减,在(−2,0)内单调递增,在x= −2处g(x)取最小值.又g(0)=3,g(−2)=1,故1≤m ＜ 3.

点评 解法四这种分离参数求参数的取值范围方法,在处理含参不等式、函数、方程等问题也是常有的,通过构造参数另一边的函数,研究其单调性或值域等性质,也能求出参数的范围.

应用高考 (2016全国卷I(理科))已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2有两个零点.

(I)求a的取值范围;(II)略.

图1

反思

含参函数是每年高考必考知识,各种题型都会涉及,也是考生的难点.因此对一道题目多角度的探究它的解法,一方面有助于学生对处理函数问题的知识思想方法的理解与运用,并在一题多解,对比和反思每个方法的过程中,促进学生迁移能力的形成,发散思维能力的提高,良好认知结构的形成[1].另一方面也希望多种解法能调动学生学习的兴趣,培养主动探究的精神[2].通过研究高考卷发现,高考中对函数考查主要集中在两个方面,在知识方面一般考查函数的最值,函数的零点、单调性等问题;在思想方法上一般考查分类讨论、函数与方程和数形结合的思想.

波利亚说:“拿一个有意义又不复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域.”考虑到学生的解题能力和思维的差异,从基础题开始学习研究数学知识、数学方法,更容易让学生理解数学知识方法.

练习

1.用正难则反法优化解法一;用主元变换法找出函数过的定点,优化解法二.

(I)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(II)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.(提示:讨论方程的根.)

3.(2014年江苏卷)已知函数f(x=x2+mx−1),若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)＜0成立,则实数m的取值范围是___.(提示:结合图像解答.)

答案:

4.(2015年四川(理))已知函数f(x)=−2(x+a)lnx+x2−2ax−2a2+a,其中a＞0.

(I)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.

(II)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内唯一解.(提示:第二问函数零点存在性定理)

5.(2014年江苏卷)已知函数f(x)=ex+e−x,其中e是自然对数的底数.

(1)证明:f(x)是R上的偶函数;

(2)若关于x的不等式mf(x)≤e−x+m−1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(提示:第二问分离参数)

(3)略.

[1]濮安山.例谈“一题多解”的数学教育价值[J].现代中小学教育,2016(7):57–60.

[2]王千.如何认识“一题多解”的教育功能[J].数学通报,2004(9):10–13.