函数中两动点间的距离的最值问题

云南省玉溪第一中学(653100)武增明

函数中两动点间的距离的最值问题

云南省玉溪第一中学(653100)武增明

函数中两个动点之间的距离的最值(取值范围)问题归纳起来主要有三类型:(1)两个动点分别在两个函数图象上;(2)两个动点分别在一个函数图象和一个圆锥曲线上;(3)两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.下面通过例子具体谈一谈函数中两动点间的距离的最值(取值范围)的三种类型的探求方法.

1.两个动点分别在两个函数图象上

两个动点P,Q分别在两个函数图象上,求这两个动点P,Q之间的距离的最值(取值范围).解决这类问题的方法是,把问题转化为求直线l1和直线l2平行且直线l1与函数图象相切的切点到直线l2的距离,即把问题转化为求切点到直线的距离.

例1.(2012年高考全国新课标卷理科第12题)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )

例2.设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线

(x＞0)上,则|PQ|的最小值是( )

解析 因为y=ex的反函数是y=lnx,两个函数的图象关于直线y=x对称,如图1.所以曲线y=ex上的点P到直线 y=x的距离等于点P关于直线y=x的对称点P′到直线y=x的距离.

图1

当0＜ x ＜ 1时,f′(x)＜ 0;当x ＞ 1时,f′(x)＞ 0,所以函数f(x)在 (0,+∞)上有最小值f(1)=0,则当x＞0时,除(1,0)点外函数 y=lnx的图象恒在的图象的上方,在 (1,0)处两曲线相切.

求曲线y=ex上的点P与曲线上的点Q的距离的最小值,可看作是求曲线 y=lnx上的点P′与点Q到直线y=x的距离的和的最小值,而函数y=lnx与在x=1处的导数都是1,说明与直线y=x平行的直线与两曲线切于同一点(1,0),则|PQ|的最小值为点(1,0)到直线y=x距离的2倍,所以|PQ|的最小值为故选D.

评注 求两个函数图象上两个动点间的距离的最小值,显然没法利用两点间的距离公式计算,结合函数y=ex图象上的点关于直线y=x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y=lnx上的点与上的点到直线y=x的距离之和的最小值问题,而与直线y=x平行的直线同时与曲线y=lnx和切于同一点(1,0),所以P,Q间的距离的最小值为点(1,0)到直线y=x距离的2倍.

2 两个动点分别在一个函数图象和一个圆锥曲线上

两个动点P,Q分别在一个函数图象和一个圆锥曲线上,求这两个动点P,Q之间的距离的最值(取值范围).解决此类问题的方法有二种,方法1:若两个动点P,Q分别在一个函数图象和一个圆上,则把问题转化为求直线l与函数图象相切于点A,且l垂直于点A与圆心B连线时,A和圆心B之间的距离.方法2:若两个动点P,Q分别在一个函数图象和一个椭圆或双曲线或抛物线上,则把问题转化为求与函数图象相切的直线l1和与椭圆(双曲线或抛物线)相切的直线l2,和平行线l1,l2的之间的距离.

例3.已知点P为函数f(x)=lnx的图象上任意一点,点Q为圆上任意一点,则线段PQ的长度的最小值为( )

图2

故A(e,1).从而

故而选C.

例4. 如果P是函数y=f(x)图象上的点,Q是函数y=g(x)图象上的点,且P,Q两点之间的距离|PQ|能取到最小值,那么将d称为函数y=f(x)与y=g(x)之间的距离.按这个定义,函数之间的距离是___.

图3

设动点B(t2,t)是y=f(x)图象上任意一点,则|AB|=当|AB|取得最小值

评注 此题用上述例3的解法很易求解.

3 两个动点分别在一个函数图象和一条直线上

两个动点P,Q分别在一个函数图象和一条直线l上,求这两个动点P,Q之间的距离的最值(取值范围).解决这类问题的方法是,把问题转化为求直线l1与函数图象相切,且 l1平行l的切点到直线l的距离.

图4

例5设点P,Q分别是曲线y=xe−2x和直线y=x+2上的动点,则P,Q两点间的距离的最小值是_____.e−2x0−2x0e−2x0,故e−2x0−x0e−2x0=1,由此凑出 x0=0,从而A(0,0),于是点A(0,0)到直线y=x+2的距离为故而

简解 设与直线y=x+2平行的直线l和曲线y=xe−2x相切的切点为A(x,xe−2x),如图4,则因为 y′=(xe−2x)′=e−2x−2xe−2x,所以 kl=

4 问题变式

在这里,笔者给出如下一组变式题,旨在供同仁在教学过程中作参考和同学们在学习此问题时作练习.

1.若点P,Q分别在函数y=ex和函数y=lnx的图象上,则P,Q两点间的距离的最小值是___

2.若P,Q分别是函数y=lnx−x2,y=x+2的图象上的动点,则|PQ|2的最小值为____.(8)

3.在函数f(x)=ln(2x−1)图象上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短____

4.若P,Q分别是函数y=x2−lnx,y=x−2的图象上的动点,则|PQ|的最小值为____

5.函数f(x)=ex+x2+x+1的图象M关于直线2x−y−3=0对称的图象为N,P,Q分别是两图象上的动点,则|PQ|的最小值为___

6.如果P是函数y=f(x)图象上的点,Q是函数y=g(x)图象上的点,且P,Q两点之间的距离|PQ|能取到最小值d,那么将d称为函数y=f(x)与y=g(x)之间的距离.按这个定义,函数f和之间的距离是____

以上变式题解略,各题后面括号内为答案.