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对《割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究》的思考

2017-09-03山东省单县第一中学274300卫小国

中学数学研究(广东) 2017年15期
关键词:割线切线中点

山东省单县第一中学(274300) 卫小国

对《割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究》的思考

山东省单县第一中学(274300) 卫小国

文[1]中对曲线的割线斜率与区间中点处切线斜率的关系,通过选取几个基本函数及其线性组合展开研究;获得很好的结论,并选例展示结论的具体应用.笔者研读,获益匪浅,进而继续探究,偶得结论在一般函数中的推广;其推广的结论适用面更广,解答时更简洁.现整理成文,与大家共享,以期抛砖引玉!

一.对“背景揭示”的一般推广

结论推广 设函数f(x)连续且二阶导数存在,且∀x1,x2,x1< x2,证明 令

同理可证:若 f′′(x)单调递减,则

若 f′′(x)为常数,则

二.对“试题分析”几例的证明

原文中列出5道例题,目的是展示结论的应用;其文中例2、例3属于在线性组合中的使用,笔者现选择其中的另外3道例题给出更简洁的证明.

例1[1](2011年高考辽宁理科21题)已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x.

(III)函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′(x0)<0.

例4[1](2014年南京三模)已知函数f(x)=lnx−mx,(x∈R)(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1·x2> e2.

故x1·x2>e2.

例5[1](2014年南京二模)设函数f(x)=ex−ax+a,(a∈R),其图像与x轴交于A(x1,0),A(x2,0)两点,且x1< x2.(2)证明:

证明 二阶导函数f′′(x)=ex单调递增,则

以上几例中曲线上两点都在轴上,通常变式可以如下题(河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛)

已知函数f(x)=x−alnx,(a∈R).

(2)若函数g(x)=f(x)−kx2有两个零点x1,x2,试判断的符号,并证明.

三.推广结论的应用举例

其实推广结论对该类曲线上一般情形下的两点都成立,且有更多的应用,以下仅再列出在函数不等式、极值点偏移和数列不等式等问题中的应用,并提供同类问题以供研习.

3.1 函数不等式

题目1(2011年高考全国卷理科22题)(I)设函数

证明:当x>0时,f(x)>0.

证明 函数

单调递增,故函数图像上两点A(x,g(x)),B(0,g(0)).由结论可知满足则当x> 0时,f(x)>0.

简评 不等式的恒成立问题,含有形如ex,lnx等函数时,借助导数研究;运算量大,思维难度大.基于推广结论而“化曲为直”进行放缩,将使得问题解答简捷;依此法可解2011年高考新课标卷理科21题.

3.2 极值点偏移

题目2(2016年全国1卷理科21题)已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2有两个零点.

(I)求a的取值范围;

(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

证明 (II)由

可得二阶导函数递增,且有显然x1+x2<2.

简评 极值点偏移通常研究的是函数的两零点x1,x2之和与极值点x0的2倍的关系,或者是的符号确定,化归为中点处切线斜率或者横坐标,与推广结论“不谋而合”.特别是问题条件中,遇含有如ex,lnx等函数时,效果更明显;如2010年高考天津卷理科21题.

3.3 数列不等式

题目3(2012年广东卷第19题)设数列{an}的前n项和为 Sn,满足 2Sn=an+1−2n+1+1(n ∈ N∗),且a1,a2+5,a3成等差数列.(3)证明:对一切正整数n,有

简评 数列不等式的证明,其中涉及放缩处理时,难度较大;综合知识多,往往不易证明,常常需要巧妙构造函数(如2013年大纲卷理科22题);而利用推广结论进行转化构造,简直是“神来之笔”.试题有(2015年高考广东卷理科21题)数列{an}满足

(I)求数列{an}前n项和Tn;

明:数列{bn}的前n项和Sn,满足Sn<2+2lnn.

提示 简化待证的Sn<2+2lnn为证

曲线上在某些点处斜率的大小联系,备受命题者的青睐;缘于其不等式的代数特征,提供了放缩的依据,几何特点为中点处斜率的问题研究创造条件.以上仅是笔者推广结论在高考中的三类应用,其更广泛的使用,待大家继续研究!

[1]刘鸿春.割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究[J].中学数学,2015(8):69–71.

[2]岳峻.主元法破解极值点偏移问题[J].中学教学,2016(12):54–56.

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