把时间还给学生，把机会让给学生

金明+贺育林

[摘 要] 本文通过《正弦、余弦函数的图像》教学实践，说明课堂教学中如何注重知识的形成过程，如何让学生多思考、多动手实践、多分析对比、多探究、多合作交流. 课堂教学中教师重在导，以问题驱动学生思考、实践、交流、体验、感悟. 在教学过程中，教师通过有层次地设置问题来引发学生的思考，培养学生发现问题、提出问题的能力.有意识地把本节课作为一个很好的提出问题的载体，去培养学生的问题意识，训练学生的数学思维，提高学生自主探索和合作学习的能力.

[关键词] 感悟；对比反思；体验过程；诱发探究；教学思考

[?] 问题提出

“课堂教学以学生为主体，教师为主导”是新课标教学理念. 但在实际的课堂教学中，我们很多教师由于受应试教育的影响较深，总是自觉或不自觉地抢占了学生表现的机会. 如该学生“讲”的，教师代替了学生讲；该学生动手“做”的，教师代替了学生做；该学生动脑“思考”的，教师给予时间较短，学生末能充分思考；等等.

《正弦、余弦函數的图像》这节课的教学很多教师认为很简单，用电脑操作一下，让学生体验一下正弦、余弦函数的图像的得出过程，归纳出“五点作图法”，然后通过大量的作图练习巩固所学知识即可. 这种不注重知识的形成过程、不重视学生的体验的教学在现实中普遍存在. 课堂教学如何落实以学生为主的理念，如何把时间还给学生，把机会让给学生？笔者通过一个课例加以说明，以下是《正弦、余弦函数的图像》的教学实录及反思.

[?] 课堂教学实录

1. 让学生做实验，感悟函数图像

师：同学们，我们已经学习了三角函数的定义及应用（同角三角函数的关系及诱导公式），现在我有一个问题：为什么叫三角函数？如为什么y=sinx叫正弦函数？

生1：在函数y=sinx中，y随x变化而变化，所以是函数.

生2：一个角确定唯一一个正弦值，任意一个给定实数x有唯一确定的值sinx与它对应，由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫正弦函数.

师：非常好，生2结合函数的定义理解正弦函数非常准确. 要研究函数，应从哪些方面进行研究呢？

生3：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等.

生4：先要作图吧.

师：刚才两位同学都说得对，研究函数必研究函数的图像和性质，函数图像对函数性质的研究有帮助. 今天这节课我们重点探讨正弦、余弦函数的图像. 正弦、余弦函数的图像到底是什么样子的呢？下面，我们先做一个弹簧振子的实验.

（实验）请一位同学摇动手柄，带动纸筒匀速转动，我们把弹簧拉离平衡位置，放手使其振动，弹簧中间的毛笔就会在纸上记录下一条曲线，请同学们欣赏实验结果.

此时，我们得到了一条非常优美的波形曲线，学生惊呼：居然是这样的形状……一脸兴奋.

（电脑演示）通过播放动画，同学们可以更清楚地看到曲线形成的过程.

师：这条曲线描述了弹簧相对于平衡位置的位移随时间变化的情况，在物理中，这种简谐运动的振动图像就被称为正弦或余弦曲线.

师：同学们在生活中还见过哪些形状类似的曲线呢？能否举一两个例子与大家分享一下？

生5：体操运动员舞动的彩带.

生6：湖面上泛起的层层波浪.

生7：示波器下声波的图像，我们生活中用的正弦交流电等.

师：很好，同学们举的例子都对，看样子同学们对这个图像并不陌生. 其实，世界上许多运动变化都具有周而复始、循环往复的特点，而刻画这些现象最好的数学模型，就是我们今天要研究的正弦和余弦函数的图像.

教学感悟：问题情景的设置达到了预期的效果，新颖的引入让人眼前一亮，引发学生去积极思考，激起了学生强烈的好奇心和学习兴趣.通过学生亲自做实验，让学生在第一时间对正弦和余弦函数的图像有了一个初步的了解. 让学生举例，使学生体验到数学来源于生活.

2. 让学生尝试作图，对比反思

师：试验中的弹簧振子画出了这么优美的曲线，同学们想不想也用手中的笔和弹簧振子PK一下呢？

生众：想！（跃跃欲试）

师：非常好！那我们就先来作y=sinx在区间[0，2π]的图像. 作函数图像分哪几个步骤啊？

生众：①列表；②描点；③连线.

师：请同学们在学案上先试着画出它的图像.

（学生活动：作完图像后，同桌之间相互对比、交流. 教师收集学生所作图像. ）

师：请同学们观看投影，这是我收到的四位同学作图的结果. 在同一坐标系下，作出的图像并不是很一致，思考产生这些差异的原因是什么.

生8：由于像sin，sin这些点必须取近似值才能描点，有误差，导致不够准确.

教学感悟：从学生的认知规律出发，利用作图通法——列表描点法——作正弦函数的图像，培养学生积极动口、动手、动脑的习惯. 让学生相互交流所作的图像，发现其中出现的差异，引导学生分析差异产生的原因. 教学中注重培养学生的动手能力、合作交流能力，发现问题、探索问题、解决问题的能力. 教学过程中，教师通过在投影仪上对学生所作图像的展示，能够很快发现列表描点法作正弦函数图像的缺点.

3. 让学生思考如何精准作图，体验过程

师：很好，而且非特殊角的三角函数值，我们更没有办法精确得出，这种描点作图的方法，我们称为代数描点法. 既然代数描点不够精确，你能提出更好的方法吗？（学生沉思，一时没有好的办法. ）

师：要研究三角函数值的表示，让我们回到三角函数的定义. 在定义中，三角函数值是用比值来表示的，除了这种表示方法外，还可以用什么方式来刻画呢？

生9：三角函数线.

教师引导学生回忆三角函数线的相关知识（回顾旧知：正弦线、余弦线）：设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，垂足为M，则sinα==MP，cosα==OM. 有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线.

为了作三角函数的图像，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数. 在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状就各不相同了，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.

师：下面我们先以为例，思考：如何利用正弦线在直角坐标系中作出点

，sin

的坐标？

生10：先作单位圆，把圆心放在x轴负半轴上，作出对应的正弦线，再平移到x轴右边与横坐标同起点，就找到了点

，sin

的坐标.

师：这种描点的方法，我们称为几何描点法. 与代数描点相比，几何描点在精度上有了很大的提高. 作出了

，sin

这一个点后，其余的点也能用同样的方法作出吗？

生众：一样平移即可.

教师用动画演示作图步骤：①把圆分成12等份，对应x轴右侧13个点的横坐标；②作各角的正弦線；③将正弦线向右平移，得各点的纵坐标；④用光滑的曲线连接正弦线的终点.

师：作出了y=sinx在区间[0，2π]的图像后，我们不禁要问：y=sinx在整个实数集上的图像又是怎样的呢？我们先考虑区间（2π，4π）的图像与区间[0，2π]的图像有什么联系.

学生11板演，作出区间（2π，4π）的图像. 并说明原因：由于sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即终边相同的角具有相同的三角函数值，所以区间（2π，4π）上各点的纵坐标与区间[0，2π]上各点的纵坐标对应相等，也就是可以由区间[0，2π]的图像向右平移2π个单位得到.

师：非常好，刚才生11同学作出了y=sinx在区间（2π，4π）的图像并说明了理由，我们能否作出y=sinx在定义域R上的图像呢？

生12：同样地，我们把[0，2π]区间的图像，每次向左或向右平移2π个单位，就可以得到y=sinx在整个实数集上的图像了. 原因还是：sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即终边相同的角具有相同的三角函数值.

师：正弦函数在定义域R上的图像，我们称之为正弦曲线. 如图3所示.

教学感悟：教师通过提问，引发学生思考，让学生从作y=sinx的一个点，到作一个区间的图像，再到作整个实数集上的图像，由浅入深，步步深入，让学生体验到数学思维的乐趣，问题设计符合学生接受新事物的认识规律. 在教学中，教师将展示的机会让给学生，让学生思考、让学生作图、让学生说理等.

4. 作图引申，诱发探究

师：我们已经作出了正弦函数y=sinx在定义域R上的图像，能否作余弦函数y=cosx的图像呢？请同学们思考.

生12：先作y=cosx在[0，2π]上的图像，再用诱导公式进行平移得出y=cosx在定义域R上的图像.

师：很好，那么怎么作y=cosx在[0，2π]上的图像呢？

生13：与正弦函数一样用余弦三角函数线进行平移. 不对不对，在x轴上不能平移.

生14：好像能在y轴上平移，但还是有点不方便.

师：能否转换一下思路，借助我们已经作出的正弦函数的图像呢？

生15：根据诱导公式，利用cosx=sin

x+

，所以y=cosx的图像可由y=sinx的图像向左平移个单位得到.

师：非常好，生15根据诱导公式将余弦函数转化为正弦函数作出了它的图像. 余弦函数在定义域R上的图像，我们称之为余弦曲线. 如图4所示.

教学感悟：教师提出问题促使学生进行思考，给学生思维空间. 学生由于受正弦函数作图的影响，思维可能出现偏差，当学生想不到时给一点点提示，继续让学生思考，相信学生的能力. 给足够的时间、空间让学生思考，让学生交流展示.

5. 让学生观察发现，探求作图的简易方法

师：对函数图像形状的认识，为我们简化作图提供了有利的支持. 知道了这两个点，我们就可以很快地作出一次函数的简图. 知道了抛物线的顶点与x轴的两个交点，我们也可以很快地作出二次函数的简图. 请同学们观察区间[0，2π]上正、余弦函数的图像，有哪些点在决定图像形状的过程中起到了关键性的作用？

生16：观察正弦函数的图像先由原点上升到最高点，再回到x轴，再下降到最低点，最后又回到x轴，也就是有5个点在决定图像形状的过程中起到了关键作用. 即点（0，0），

，1，（π，0），

，-1，（2π，0）.

师：非常好，观察能力非常强. 同样，根据余弦函数先下降再上升的变化趋势，也有5个关键点（生齐答5个关键点的坐标）.

师：有了这5个关键点，函数图像的形状也就基本确定了. 那么，今后在精度要求不太高的前提下，我们还需要像前面的代数描点法一样，作出13个点的坐标吗？

生众：不需要，只需列出5个关键点的坐标.

师：对，我们只需列出5个关键点的坐标，再描点，最后连线. 注意此时的连线，不仅要用光滑曲线，还要注意到函数图像形状的特点，相对x轴外凸. 这种作函数简图的方法，我们称它为“五点作图法”. 以后我们作图就用“五点作图法”.

教学感悟：教师通过回顾一次函数、二次函数的作图启发学生思考如何方便快捷地作出正弦函数、余弦函数的图像，让学生观察、思考后得出结论，将结论的发现过程让给学生.

6. 让学生作图，巩固知识

师：既然“五点作图法”这么方便快捷，我们不妨尝试一下. 我们先来用“五点作图法”作y=sinx+1，x∈[0，2π]的简图. 看哪位同学做得又快又好. 有没有同学愿意上来，给大家做一个示范？

巡视教室，找一位学生板演，教师对个别学生进行指导，并提醒学生注意思考，如何利用区间[0，2π]上y=sinx的五点，求出y=sinx+1的五点.

板演完毕，教师点评并强调，此时表格中的第一行和第三行，才是我们要描点的五点对应的横、纵坐标，描点时，要注意到曲线的走势，用光滑曲线连线.

师：下面，请同学们观察作出的图像，与y=sinx在区间[0，2π]的图像有什么联系呢？

生18：可由y=sinx向上平移一个单位得到.

师：也就是说，我们作y=sinx+1的图像还可以通过平移y=sinx来作图.

师：接下来，我们再来看一个与余弦函数有关的作图. 请同学们在学案上作出y=-cosx（x∈[0，2π]）的简图.

学生板演，再由一位学生更正作图过程中不完善的地方.

师：同样地，我们可以看出，y=-cosx可由y=cosx如何变换得到呢？

生齐答：关于x轴对称得到.

教学感悟：通过例题的讲解，加深学生对新知识的理解，巩固与深化正弦函数图像的运用，让学生真正能够做到学以致用，提高学生解决问题的能力. 通过追问使学生明白利用图像变换作图，也是一个非常实用的方法.

7. 总结回顾，人文引申

师：最后，让我们一起来回顾一下今天的探究之旅，我们学到了什么？

生：主要学到了正弦、余弦函数的三种描点作图法，此外，我们还学到了可以利用图像的平移和对称变换来作图.

师：很好. 其中，“五点作图法”是本節课的重点，同学们一定要熟练掌握. 不知道大家是否与我有同感，正弦曲线和余弦曲线，就像是我们的人生，有高峰也有低谷. 祝愿同学们能把握好人生的关键点，画出属于我们自己的精彩人生轨迹！

教学感悟：教师将正弦曲线和余弦曲线与人生联系在一起，丰富了数学知识，体现了人文关怀，同时也激励了学生.

[?] 教学反思

在现实的课堂教学中，有的教师为了赶教学进度、多做几道题，很多时候不能做到将时间还给学生，将机会让给学生. 笔者听过很多讲解这一节内容的课，有的教师用二十分钟不到的时间就讲完了：他不花时间去做实验，只是用电脑展示（学生体验不到正弦曲线来源于生活），不让学生去尝试用描点作图（学生体验不到不同学生作图的差异和准确作图的必要性），只是直接用电脑演示用单位圆中的正弦线去平移作图（学生体验不到这样作图的好处），然后讲解如何作余弦函数的图像，总结出“五点作图法”，接着就是大量的练习巩固. 这样做学生也许能掌握本节课的内容，但学生缺少情感的体验，缺乏学习数学的热情，没有体会到数学思维的魅力.

本节课笔者在做教学设计时抓住了一个突出的特点：把时间还给学生，将机会让给学生. 让学生做实验体验到正弦曲线、余弦曲线来源于现实生活；让学生尝试描点作图，反思作图差异形成的原因为精准作图作了铺垫；引导学生回顾三角函数线，启发学生由作一个点到一个区间再到整个R上的图像，在此过程中让学生说、让学生思、让学生画、让学生合作交流体验数学思维的乐趣；接着引导学生如何作余弦函数的图像. 在此过程中学生思维出现偏差时，不是教师告知结论，而是启发诱导，让学生去想、去思考、去展示思维成果，最后让学生观察思考得出“五点作图法”. 在教学过程中，教师通过有层次地设置问题来引发学生的思考，培养学生发现问题、提出问题的能力.笔者有意识地把本节课作为一个很好的提出问题的载体，去培养学生的问题意识，训练学生的数学思维，提高学生自主探索和合作学习的能力.

“将机会让给学生，将时间还给学生”不应是一个口号，而应付诸行动. 在教学时，把原本属于学生的时间还给学生：把练习的时间还给学生，把思考的时间还给学生……让他们观察、归纳、概括、探究、参与举例、参与再创造……教师不要去争、去抢、去占，而是要参与到学生的活动中去. 教师将问题展示后，最好选择闭嘴（你作为教师是早就想好了，可学生才接触到），不要跟学生去争抢，把机会让给学生，你“休息休息”，学生有困难你再去启发，他们没有跌倒你扶他干嘛？巡视后投影，再提问、互动交流，多暴露学生的思维过程.

参考文献：

[1] 程新展. 数学概念教学的十种策略，中国数学教育，2010（4）.

[2] 王恩宾，李凤. 几何法研究同角三角函数基本关系初探，中国数学教育，2012（11）.

[3] 金明. 课堂教学应让学生尽情地“说”. 中学数学，2013（3）.