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把时间还给学生,把机会让给学生

2017-09-01金明贺育林

数学教学通讯·高中版 2017年8期
关键词:感悟教学思考

金明+贺育林

[摘 要] 本文通过《正弦、余弦函数的图像》教学实践,说明课堂教学中如何注重知识的形成过程,如何让学生多思考、多动手实践、多分析对比、多探究、多合作交流. 课堂教学中教师重在导,以问题驱动学生思考、实践、交流、体验、感悟. 在教学过程中,教师通过有层次地设置问题来引发学生的思考,培养学生发现问题、提出问题的能力.有意识地把本节课作为一个很好的提出问题的载体,去培养学生的问题意识,训练学生的数学思维,提高学生自主探索和合作学习的能力.

[关键词] 感悟;对比反思;体验过程;诱发探究;教学思考

[?] 问题提出

“课堂教学以学生为主体,教师为主导”是新课标教学理念. 但在实际的课堂教学中,我们很多教师由于受应试教育的影响较深,总是自觉或不自觉地抢占了学生表现的机会. 如该学生“讲”的,教师代替了学生讲;该学生动手“做”的,教师代替了学生做;该学生动脑“思考”的,教师给予时间较短,学生末能充分思考;等等.

《正弦、余弦函數的图像》这节课的教学很多教师认为很简单,用电脑操作一下,让学生体验一下正弦、余弦函数的图像的得出过程,归纳出“五点作图法”,然后通过大量的作图练习巩固所学知识即可. 这种不注重知识的形成过程、不重视学生的体验的教学在现实中普遍存在. 课堂教学如何落实以学生为主的理念,如何把时间还给学生,把机会让给学生?笔者通过一个课例加以说明,以下是《正弦、余弦函数的图像》的教学实录及反思.

[?] 课堂教学实录

1. 让学生做实验,感悟函数图像

师:同学们,我们已经学习了三角函数的定义及应用(同角三角函数的关系及诱导公式),现在我有一个问题:为什么叫三角函数?如为什么y=sinx叫正弦函数?

生1:在函数y=sinx中,y随x变化而变化,所以是函数.

生2:一个角确定唯一一个正弦值,任意一个给定实数x有唯一确定的值sinx与它对应,由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫正弦函数.

师:非常好,生2结合函数的定义理解正弦函数非常准确. 要研究函数,应从哪些方面进行研究呢?

生3:定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等.

生4:先要作图吧.

师:刚才两位同学都说得对,研究函数必研究函数的图像和性质,函数图像对函数性质的研究有帮助. 今天这节课我们重点探讨正弦、余弦函数的图像. 正弦、余弦函数的图像到底是什么样子的呢?下面,我们先做一个弹簧振子的实验.

(实验)请一位同学摇动手柄,带动纸筒匀速转动,我们把弹簧拉离平衡位置,放手使其振动,弹簧中间的毛笔就会在纸上记录下一条曲线,请同学们欣赏实验结果.

此时,我们得到了一条非常优美的波形曲线,学生惊呼:居然是这样的形状……一脸兴奋.

(电脑演示)通过播放动画,同学们可以更清楚地看到曲线形成的过程.

师:这条曲线描述了弹簧相对于平衡位置的位移随时间变化的情况,在物理中,这种简谐运动的振动图像就被称为正弦或余弦曲线.

师:同学们在生活中还见过哪些形状类似的曲线呢?能否举一两个例子与大家分享一下?

生5:体操运动员舞动的彩带.

生6:湖面上泛起的层层波浪.

生7:示波器下声波的图像,我们生活中用的正弦交流电等.

师:很好,同学们举的例子都对,看样子同学们对这个图像并不陌生. 其实,世界上许多运动变化都具有周而复始、循环往复的特点,而刻画这些现象最好的数学模型,就是我们今天要研究的正弦和余弦函数的图像.

教学感悟:问题情景的设置达到了预期的效果,新颖的引入让人眼前一亮,引发学生去积极思考,激起了学生强烈的好奇心和学习兴趣.通过学生亲自做实验,让学生在第一时间对正弦和余弦函数的图像有了一个初步的了解. 让学生举例,使学生体验到数学来源于生活.

2. 让学生尝试作图,对比反思

师:试验中的弹簧振子画出了这么优美的曲线,同学们想不想也用手中的笔和弹簧振子PK一下呢?

生众:想!(跃跃欲试)

师:非常好!那我们就先来作y=sinx在区间[0,2π]的图像. 作函数图像分哪几个步骤啊?

生众:①列表;②描点;③连线.

师:请同学们在学案上先试着画出它的图像.

(学生活动:作完图像后,同桌之间相互对比、交流. 教师收集学生所作图像. )

师:请同学们观看投影,这是我收到的四位同学作图的结果. 在同一坐标系下,作出的图像并不是很一致,思考产生这些差异的原因是什么.

生8:由于像sin,sin这些点必须取近似值才能描点,有误差,导致不够准确.

教学感悟:从学生的认知规律出发,利用作图通法——列表描点法——作正弦函数的图像,培养学生积极动口、动手、动脑的习惯. 让学生相互交流所作的图像,发现其中出现的差异,引导学生分析差异产生的原因. 教学中注重培养学生的动手能力、合作交流能力,发现问题、探索问题、解决问题的能力. 教学过程中,教师通过在投影仪上对学生所作图像的展示,能够很快发现列表描点法作正弦函数图像的缺点.

3. 让学生思考如何精准作图,体验过程

师:很好,而且非特殊角的三角函数值,我们更没有办法精确得出,这种描点作图的方法,我们称为代数描点法. 既然代数描点不够精确,你能提出更好的方法吗?(学生沉思,一时没有好的办法. )

师:要研究三角函数值的表示,让我们回到三角函数的定义. 在定义中,三角函数值是用比值来表示的,除了这种表示方法外,还可以用什么方式来刻画呢?

生9:三角函数线.

教师引导学生回忆三角函数线的相关知识(回顾旧知:正弦线、余弦线):设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足为M,则sinα==MP,cosα==OM. 有向线段MP叫做角α的正弦线,有向线段OM叫做角α的余弦线.

为了作三角函数的图像,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数. 在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状就各不相同了,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.

师:下面我们先以为例,思考:如何利用正弦线在直角坐标系中作出点

,sin

的坐标?

生10:先作单位圆,把圆心放在x轴负半轴上,作出对应的正弦线,再平移到x轴右边与横坐标同起点,就找到了点

,sin

的坐标.

师:这种描点的方法,我们称为几何描点法. 与代数描点相比,几何描点在精度上有了很大的提高. 作出了

,sin

这一个点后,其余的点也能用同样的方法作出吗?

生众:一样平移即可.

教师用动画演示作图步骤:①把圆分成12等份,对应x轴右侧13个点的横坐标;②作各角的正弦線;③将正弦线向右平移,得各点的纵坐标;④用光滑的曲线连接正弦线的终点.

师:作出了y=sinx在区间[0,2π]的图像后,我们不禁要问:y=sinx在整个实数集上的图像又是怎样的呢?我们先考虑区间(2π,4π)的图像与区间[0,2π]的图像有什么联系.

学生11板演,作出区间(2π,4π)的图像. 并说明原因:由于sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z),即终边相同的角具有相同的三角函数值,所以区间(2π,4π)上各点的纵坐标与区间[0,2π]上各点的纵坐标对应相等,也就是可以由区间[0,2π]的图像向右平移2π个单位得到.

师:非常好,刚才生11同学作出了y=sinx在区间(2π,4π)的图像并说明了理由,我们能否作出y=sinx在定义域R上的图像呢?

生12:同样地,我们把[0,2π]区间的图像,每次向左或向右平移2π个单位,就可以得到y=sinx在整个实数集上的图像了. 原因还是:sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z),即终边相同的角具有相同的三角函数值.

师:正弦函数在定义域R上的图像,我们称之为正弦曲线. 如图3所示.

教学感悟:教师通过提问,引发学生思考,让学生从作y=sinx的一个点,到作一个区间的图像,再到作整个实数集上的图像,由浅入深,步步深入,让学生体验到数学思维的乐趣,问题设计符合学生接受新事物的认识规律. 在教学中,教师将展示的机会让给学生,让学生思考、让学生作图、让学生说理等.

4. 作图引申,诱发探究

师:我们已经作出了正弦函数y=sinx在定义域R上的图像,能否作余弦函数y=cosx的图像呢?请同学们思考.

生12:先作y=cosx在[0,2π]上的图像,再用诱导公式进行平移得出y=cosx在定义域R上的图像.

师:很好,那么怎么作y=cosx在[0,2π]上的图像呢?

生13:与正弦函数一样用余弦三角函数线进行平移. 不对不对,在x轴上不能平移.

生14:好像能在y轴上平移,但还是有点不方便.

师:能否转换一下思路,借助我们已经作出的正弦函数的图像呢?

生15:根据诱导公式,利用cosx=sin

x+

,所以y=cosx的图像可由y=sinx的图像向左平移个单位得到.

师:非常好,生15根据诱导公式将余弦函数转化为正弦函数作出了它的图像. 余弦函数在定义域R上的图像,我们称之为余弦曲线. 如图4所示.

教学感悟:教师提出问题促使学生进行思考,给学生思维空间. 学生由于受正弦函数作图的影响,思维可能出现偏差,当学生想不到时给一点点提示,继续让学生思考,相信学生的能力. 给足够的时间、空间让学生思考,让学生交流展示.

5. 让学生观察发现,探求作图的简易方法

师:对函数图像形状的认识,为我们简化作图提供了有利的支持. 知道了这两个点,我们就可以很快地作出一次函数的简图. 知道了抛物线的顶点与x轴的两个交点,我们也可以很快地作出二次函数的简图. 请同学们观察区间[0,2π]上正、余弦函数的图像,有哪些点在决定图像形状的过程中起到了关键性的作用?

生16:观察正弦函数的图像先由原点上升到最高点,再回到x轴,再下降到最低点,最后又回到x轴,也就是有5个点在决定图像形状的过程中起到了关键作用. 即点(0,0),

,1,(π,0),

,-1,(2π,0).

师:非常好,观察能力非常强. 同样,根据余弦函数先下降再上升的变化趋势,也有5个关键点(生齐答5个关键点的坐标).

师:有了这5个关键点,函数图像的形状也就基本确定了. 那么,今后在精度要求不太高的前提下,我们还需要像前面的代数描点法一样,作出13个点的坐标吗?

生众:不需要,只需列出5个关键点的坐标.

师:对,我们只需列出5个关键点的坐标,再描点,最后连线. 注意此时的连线,不仅要用光滑曲线,还要注意到函数图像形状的特点,相对x轴外凸. 这种作函数简图的方法,我们称它为“五点作图法”. 以后我们作图就用“五点作图法”.

教学感悟:教师通过回顾一次函数、二次函数的作图启发学生思考如何方便快捷地作出正弦函数、余弦函数的图像,让学生观察、思考后得出结论,将结论的发现过程让给学生.

6. 让学生作图,巩固知识

师:既然“五点作图法”这么方便快捷,我们不妨尝试一下. 我们先来用“五点作图法”作y=sinx+1,x∈[0,2π]的简图. 看哪位同学做得又快又好. 有没有同学愿意上来,给大家做一个示范?

巡视教室,找一位学生板演,教师对个别学生进行指导,并提醒学生注意思考,如何利用区间[0,2π]上y=sinx的五点,求出y=sinx+1的五点.

板演完毕,教师点评并强调,此时表格中的第一行和第三行,才是我们要描点的五点对应的横、纵坐标,描点时,要注意到曲线的走势,用光滑曲线连线.

师:下面,请同学们观察作出的图像,与y=sinx在区间[0,2π]的图像有什么联系呢?

生18:可由y=sinx向上平移一个单位得到.

师:也就是说,我们作y=sinx+1的图像还可以通过平移y=sinx来作图.

师:接下来,我们再来看一个与余弦函数有关的作图. 请同学们在学案上作出y=-cosx(x∈[0,2π])的简图.

学生板演,再由一位学生更正作图过程中不完善的地方.

师:同样地,我们可以看出,y=-cosx可由y=cosx如何变换得到呢?

生齐答:关于x轴对称得到.

教学感悟:通过例题的讲解,加深学生对新知识的理解,巩固与深化正弦函数图像的运用,让学生真正能够做到学以致用,提高学生解决问题的能力. 通过追问使学生明白利用图像变换作图,也是一个非常实用的方法.

7. 总结回顾,人文引申

师:最后,让我们一起来回顾一下今天的探究之旅,我们学到了什么?

生:主要学到了正弦、余弦函数的三种描点作图法,此外,我们还学到了可以利用图像的平移和对称变换来作图.

师:很好. 其中,“五点作图法”是本節课的重点,同学们一定要熟练掌握. 不知道大家是否与我有同感,正弦曲线和余弦曲线,就像是我们的人生,有高峰也有低谷. 祝愿同学们能把握好人生的关键点,画出属于我们自己的精彩人生轨迹!

教学感悟:教师将正弦曲线和余弦曲线与人生联系在一起,丰富了数学知识,体现了人文关怀,同时也激励了学生.

[?] 教学反思

在现实的课堂教学中,有的教师为了赶教学进度、多做几道题,很多时候不能做到将时间还给学生,将机会让给学生. 笔者听过很多讲解这一节内容的课,有的教师用二十分钟不到的时间就讲完了:他不花时间去做实验,只是用电脑展示(学生体验不到正弦曲线来源于生活),不让学生去尝试用描点作图(学生体验不到不同学生作图的差异和准确作图的必要性),只是直接用电脑演示用单位圆中的正弦线去平移作图(学生体验不到这样作图的好处),然后讲解如何作余弦函数的图像,总结出“五点作图法”,接着就是大量的练习巩固. 这样做学生也许能掌握本节课的内容,但学生缺少情感的体验,缺乏学习数学的热情,没有体会到数学思维的魅力.

本节课笔者在做教学设计时抓住了一个突出的特点:把时间还给学生,将机会让给学生. 让学生做实验体验到正弦曲线、余弦曲线来源于现实生活;让学生尝试描点作图,反思作图差异形成的原因为精准作图作了铺垫;引导学生回顾三角函数线,启发学生由作一个点到一个区间再到整个R上的图像,在此过程中让学生说、让学生思、让学生画、让学生合作交流体验数学思维的乐趣;接着引导学生如何作余弦函数的图像. 在此过程中学生思维出现偏差时,不是教师告知结论,而是启发诱导,让学生去想、去思考、去展示思维成果,最后让学生观察思考得出“五点作图法”. 在教学过程中,教师通过有层次地设置问题来引发学生的思考,培养学生发现问题、提出问题的能力.笔者有意识地把本节课作为一个很好的提出问题的载体,去培养学生的问题意识,训练学生的数学思维,提高学生自主探索和合作学习的能力.

“将机会让给学生,将时间还给学生”不应是一个口号,而应付诸行动. 在教学时,把原本属于学生的时间还给学生:把练习的时间还给学生,把思考的时间还给学生……让他们观察、归纳、概括、探究、参与举例、参与再创造……教师不要去争、去抢、去占,而是要参与到学生的活动中去. 教师将问题展示后,最好选择闭嘴(你作为教师是早就想好了,可学生才接触到),不要跟学生去争抢,把机会让给学生,你“休息休息”,学生有困难你再去启发,他们没有跌倒你扶他干嘛?巡视后投影,再提问、互动交流,多暴露学生的思维过程.

参考文献:

[1] 程新展. 数学概念教学的十种策略,中国数学教育,2010(4).

[2] 王恩宾,李凤. 几何法研究同角三角函数基本关系初探,中国数学教育,2012(11).

[3] 金明. 课堂教学应让学生尽情地“说”. 中学数学,2013(3).

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