判别式的简便解法及其延伸应用

陈宥伊

摘要：众所周知，当我们求解与圆锥曲线相关的题目时，常需要求解判别式，而联立方程中又有一个或多个参数，故而判别式的求解较为复杂。因此笔者在此介绍一种判别式的简易解法，并拟用接下来的例题讲述此方法。

关键词：判别式；求解；延伸应用

例1，已知与相交于两点，试求联立后的判别式。

解析，联立得到联立方程 ，化简后得，再根据判别式的一般解法，可得

评注 通过此题，我们可以惊奇的发现，而其中的即为联立方程中的二次项系数，即为联立时一次函数截距的平方。因此便推出判别式的简易求法，当然在使用该方法时，也有两点注意事项，第一，椭圆联立时需要消去分母。即将化为。第二，当不互质时不可化简，约分。例如仅可化为，不可化为

在推导出判别式的简易算法后，便可对其加以应用，下面是几个应用实例

1.椭圆的面积最大值问题

例2，已知，两点是椭圆上的动点，求的最大值。

解析 设的解析式为，则联立，得到联立方程

化简后可得，故而因此可以将表示为，而到的距离，所以面积即可表示为，在使用均值不等式，即当时，

评注 利用判别式的简便算法竟成功推出椭圆中特殊三角形的最大值等于（在时）有了这一结论，就可以“秒杀”出部分题目。

例3.（2014年潍坊二模）椭圆的短轴长为2，点为上顶点，圆，将椭圆的长轴三等分，直线与椭圆交于两点

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求证△APB为直角三角形；

并求出该三解形面积的最大值.

（1）易得

（2）证明过程略

当时，即

易知

评注 利用推论可以轻易求解此题，注意前提条件是，若无法满足此条件，则不可使用此推论，而应用普通方法求解。

2、椭圆的面积定值问题

例4：已知椭圆，椭圆上的两动点满足，证明的面积为定值，并求出该定值。

解析 设直线解析式为，则联立，得到联立方程

化简得

所以可以得到，因此可以将表示为

可以将由到的距离，最终表示出面积

评注：其实由此题我们可以发现即为，那么此时的面积即为最大值为，只要满足或，就为的最大值。

3、椭圆中的轨迹问题

（上接第147页）

例5：已知椭圆，动点，作切椭圆于两点，，求的运动轨迹。

解析 设过的直线解析式為，

联立，得到联立方程：

，

则判别式，

，即为的两个根，

因为所以而所以解得轨迹

评注 利用判别式方程，找到斜率之间的关系，最终求得轨迹。

综上所述，熟练掌握判别式的简易求法，不仅可以帮助学生在考试中节约大量时间，还可以再多类题型中加以应用，使其更易求解。

巩固练习，已知椭圆，若线段是曲线的一条动弦，且，求坐标原点到动弦距离的最大值。

参考答案：

参考文献：

[1]赵福民.判别式法的应用.数学学习与研究[J]，2013，（20）

[2]王海波.判别式法在解析几何中的应用[J]中学生数理化：教与学，2011，（4）