设值法与判别式法联袂巧证两类不等式

方志平

在证明一些不等式的问题时，我们根据不等式的结构特征，通过设值，可转化或构造成一元二次方程，再利用判别式△>0，往往能出奇制胜，屡建奇功！而且解法新颖，赋有创意，独辟蹊径，本文列举几例阐述设值法与判别式法联袂在不等式证明中的奇思与妙用，旨在抛砖引玉，以飨读者.

1 巧证代数不等式

评注本题关键是将条件变为（x- a）（y -b）= ab形式后，将x-a与v-b视为一元二次方程的两根，其积为ab，于是我们再试图寻找两根和，构造出一个一元二次方程，由判别式△>0，问题则迎刃而解，評注本题也可利用基本不等式或三角换元等多种方法证明，但借用设值（a+2）2+（b+2）2=y，条件代换构造出一元二次方程，再巧用判别式法证明，思维独特，赋有创意，别有风味，评注由本题证明的结论tanAtanBtanC≥8，不难联想到在非直角三角形中一个常用恒等式：tanA+tanB+tanC=tan AtanB tanC，条件sinA= 2sinB.sinC中的三角式，尽可能化为正切形式，通过设值t=tanA tanBtanC，巧妙构造出一个一元二次方程，给本题的解决带来了转机，此题的解法充分彰显了设值法与判别式法联袂的神奇魅力！

综上，设值法与判别式法联袂巧证代数不等式、三角不等式问题，关键在于根据不等式的结构特征，通过设值，构造出一元二次方程，再巧用根的判别式进行求证，