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错在哪里

2017-08-23佟成军,查正开

中学数学教学 2017年4期
关键词:实根充分性奇函数

数 学园 地

错在哪里

1 江苏省海州高级中学

佟成军 (邮编:222062)

题目 已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且当x∈(0,2)时,f(x)=ln(x2-x+b).若f(x)在区间[-2,2]上有5个零点,则实数b的取值范围是_____.

错解 因为f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(0)=0.

-f(2)=f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以f(-2)=f(2)=0.

因为f(x)在区间[-2,2]上有5个零点,

所以f(x)=ln(x2-x+b)在x∈(0,2)上有1个零点,

即x2-x+b=1在x∈(0,2)上有1个实根,

即x2-x+b-1=0在x∈(0,2)上有1个实根.

设g(x)=x2-x+b-1,x∈(0,2),考虑到g(x)的对称轴为

解答错了!错在哪里?

错解中将“f(x)=ln(x2-x+b)在x∈(0,2)上有1个零点”转化为“x2-x+b=1在x∈(0,2)上有1个实根”,事实上,在时,x2-x+b<0,此时对x∈(0,2),f(x)=ln(x2-x+b)无意义,疏漏了函数的定义域,由此可知以上解法是错误的.究其原因,在于“存在x∈(0,2),使x2-x+b=1有1个实根”是一个存在性命题,与全称命题“对任意x∈(0,2),x2-x+b>0恒成立”不能相互替代,正确的解法需要两个命题同时满足.

正解 因为f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(0)=0.

-f(2)=f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以f(-2)=f(2)=0.因为f(x)在区间[-2,2]上有5个零点,所以f(x)=ln(x2-x+b)在x∈(0,2)上有1个零点,则

设g(x)=x2-x+b-1,x∈(0,2),考虑到g(x)的对称轴为

变式 已知关于x的方程lg(x+a)=2lg(x+1)有且只有1解,则实数a的取值范围是____.

即方程x2+x+1-a=0在x∈(-1,+∞)上有1个实数解,

变式中的x+a>0在x+1>0且x+a=(x+1)2时可以省略,在于这里是全称命题,与原题是有区别的.在转化问题时,要能够分清是存在性命题还是全称命题,从而保证问题的等价转化,预防可能产生的逻辑性错误.

2 江苏省常熟市中学

查正开 (邮编:215500)

问题 已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对于任意的实数x、y都有f(xy)=f(x)-y(3x-y+1)成立,求f(x)的表达式.

解法1 在等式f(x-y)=f(x)-y(3xy+1)中令y=x,得f(0)=f(x)-x(3x-x+1)=f(x)-2x2-x.

再由条件f(0)=1,得f(x)=2x2+x+1.

解法2 在等式f(x-y)=f(x)-y(3xy+1)中令x=0并结合条件f(0)=1,得

f(-y)=f(0)-y(-y+1)=f(0)+y2-y=y2-y+1,

再取x=-y,得f(x)=x2+x+1.

解答错了!错误在哪里?

解法1与解法2的推理貌似都正确,但得出了不同的结果,说明两种解法中至少有一种是错误的,然哪种解法是正确的呢?哪种解法是错误的呢?

正解 在条件f(x-y)=f(x)-y(3x-y+1)中,将x视为常数并设x-y=t,则y=xt,于是

f(t)=f(x)-(x-t)(3x-x+t+1)=t2+(x+1)t-2x2-x+f(x).

由此可知满足条件的f(x)必是二次函数形式.因此可设f(x)=ax2+bx+c.

由f(0)=1,得c=1.则f(x-y)=a(x-y)2+b(x-y)+1=ax2+bx-2axyay2-by+1,

f(x)-y(3x-y+1)=ax2+bx+1-3xy+y2-y,

要使任意的实数x、y都有f(x-y)=f(x)-y(3x-y+1)成立,当且仅当

所以满足条件的函数f(x)不存在,解法1与解法2都是错误的.

由于两种解法都是取特殊值得到的结果,它们只满足必要条件,并不能保证充分性.由解法1得到的函数f(x)=2x2+x+1与解法2得到的函数f(x)=x2+x+1都不能保证对于任意的实数x、y都有f(x-y)=f(x)-y(3x-y+1)恒成立.事实上,只要取x=2,y=1时以上两个函数都能使等式f(x-y)=f(x)-y(3x-y+1)不成立,所以结果均是错误的.故由此警示我们在利用特殊数值来解题时,一定要再验证所得结果的充分性(即检验),否则解题是不完整的甚至是要出错的.

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