分类讨论思想在初中数学中的应用

张东志�お�

[摘要]分类讨论思想是重要的数学思想.学生掌握分类讨论思想能够轻松解决很多数学问题.应用分类讨论思想解题也有助于培养学生的能力.

[关键词]分类讨论思想；初中数学；应用

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20002501

分类讨论思想是重要的数学思想.通过分类讨论能够将原本复杂的数学问题简单化，并能将抽象的问题具体化.[1]学习分类讨论思想还有助于培养学生的数学思维，提高他们的数学素养.

一、在方程中的应用

方程组是初中数学教学的重点内容，也是学生学习的难点.教师在讲解方程组时要注意讲解解题技巧.不少初中生在学习相关知识后都知道消元法、替换法、去分母法等.[2].但由于方法较多，学生在解题时常常会混淆.此时，运用分类讨论思想来解方程就显得非常重要.在教学过程中，教师可通过举例来帮助学生更好地理解这部分知识.比如，ax-by=a，bx-ay=b，其中a2≠b2.通过分析可知，a与b是字母而不是具体的数字.因此，需对a、b的取值进行分类讨论：（1）当a≠0，且b≠0；（2）a=0，且b≠0；（3）a≠0，且b=0.根据上述分类对方程组进行化简求解，最终得出x=1，y=0.通过对这道例题的解析，能让学生明白方程组计算并不复杂，只需全面考虑分类情况即可.这有利于培养学生学习数学的信心，进而培养他们的数学素养.

二、在圆中的应用

在初中数学几何教学中，圆是重要的教学内容.关于圆的知识，要求学生掌握圆的对称性、圆与直线、圆与圆、圆与正多边形之间的关系等.在解答关于圆的对称性以及位置关系的习题时，常常需用到分类讨论思想.若单纯依靠想象，很难弄清楚两个圆之间的相交、相离、相切等问题，也无法弄清楚相交到底是内交、还是外交等问题.因此，通常会根据题意作图，分类讨论可能存在的问题.比如，在教学“圆的对称性”内容时，设计下列习题：已知两个相交圆的半径分别为4cm、5cm，公共弦长为6cm，计算两个圆的圆心距.解题思路：由于题目中的图形具有不确定性，根据分类讨论思想可知，公共弦可能在两圆心之间，可能在两圆心同旁.因此，解题时根据圆的对称性特点，开展分类讨论：（1）若公共弦位于两圆心之间，计算出圆心距为4+7；（2）若公共弦位于两圆心同旁，计算出圆心距为4-7.

三、在三角形问题中的应用

在初中数学中关于三角形的习题中也经常需要用到分类讨论思想.比如，已知两边边长的等腰三角形，计算该三角形的周长.由于已知条件具有不确定性，到底哪条为底边，哪条为腰并未说明.因此，需要进行分类讨论.假设其中一条为底边，另一条为腰，分别讨论求解.比如，一直角三角形的两边长3cm、4cm，计算第三边长.根据分类讨论思想，假设4cm为斜边长，或者4cm为一直角边进行分别讨论，得出结果为7cm或5cm.

四、在应用题中的应用

应用题是数学考试中最常见的一类题型.应用题需要学生仔细审题，了解题意，把握题目中的重点内容，再结合所学知识来解题.尤其是遇到用字母来代替数字的题型，不少学生就不知所措，或者没有将情况考虑全面.其实，这正是分类讨论思想的运用，将每种可能的情况都做相应的解答与说明即可.通过对变量类型的分析与讨论，再找到求解的未知量.比如，某酒店在装修卫生间时选择了某个品牌的瓷磚，共需480块，而在装饰材料市场上这种规格的瓷砖分别有黑、白两种包装，价格也不同.白包装一包30块，20元/包；黑包装一包50块，30元/包.如果黑、白包装均是整包出售，那么如何购买才能花费最少的费用？

这个应用题来源于生活，学生们很快就能熟悉，也很有兴趣思考.通过学生的讨论后，他们认为有三种购买方案.一是只买白包装.那么，480块瓷砖共需要购买16包，所花费的费用为320元.二是只买黑包装.那么，480块瓷砖共需购买10包，所花费的费用为300元.三是两种包装都买.设购买白包装x包，黑包装y包，共花费z元.由于x、y、z均为正整数，因此，20x+30y=z；30x+50y≥480.当x=1，y=9时，z=290元.此时，至少要花费290元.

在数学教学中，教师不仅要引导学生学习分类讨论思想，还要鼓励学生在学习中主动去应用分类讨论思想，提高解题能力.只有将分类讨论思想渗透到数学教学的方方面面，才能有效提高学生对数学思想的认识与运用水平，从而起到事半功倍的教学效果.

[参考文献]

[1]邓凤文.如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].中学教学参考，2013，22（26）.

[2]杨继梓.初中数学教学中的分类讨论思想[J].陕西教育，2011，28（5）.

[3]张丽瑞.初中数学教学分类思想的应用[J].读写算，2015，16（48）.

[4]祁永前.初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会[J].考试周刊，2013，12（75）.

（责任编辑黄桂坚）