“课前探源，课后延伸”教学模式的尝试

2017-08-03杨洁��

中学教学参考·理科版 2017年7期

关键词：平面向量习题课探究

杨洁��

[摘要]采用探究性学习的方式上高一下學期平面向量的习题课，通过“课前探源，课后延伸”，学生能主动创新，自主解决新问题，提高了复习效率.

[关键词]平面向量；教学模式；习题课；探究

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20000103

一、引言

平面向量的教学应着眼于使学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想.

本节课作为高一下学期平面向量习题课，笔者采用了探究性学习的方式对一类向量问题的解决方法进行了探讨.

题目1：如图1，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，|OA|=OB=1，|OC|=

23，

若

OC=λOA+μOB（λ，μ∈R）

，则λ+μ的值为.

题目2：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB

，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

针对这两道经典的高考题，我从“课前探源，课堂争鸣，变式训练，课后延伸”几个方面进行了探究性学习的尝试.

二、教学过程

1.课前探源

不论是知识还是方法，这两题都与人教A版数学必修4的以下三方面内容相关.

一是第94页的平面向量基本定理；二是第100页例8的探究：当

P1P=λPP2

时，点P的坐标是什么？（大家知道，其实这就是定比分点公式的向量表示形式）三是第141页例4：已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，问：当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

在对所给题目进行探究前，先让学生回归课本，对以上三方面内容进行探究，学生不论在知识方面还是方法方面都会有所启发.

2.课堂争鸣

探究题目1的解法.

生1：根据平面向量基本定理，以OC为一条对角线，OA和OB上的线段为一组邻边构建平行四边形求解，具体如下.

通过几何直观，学生容易发现这是个特殊的三角形，由三角形的边的关系，不难得到λ=4，μ=2，从而λ+μ=6.

生2：以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系后利用坐标求解，具体如下.

师：很好，OA、OB可以看作平面内的两个基向量.此方法又可简称为“点乘基向量”法.刚刚大家说到的三大方法：几何作图法、建系法和点乘基向量法都是平面向量习题中经常用到的解题方法，大家要引起重视.

对于题目2，学生通过类似以上建系法得到结果.

师：有没有同学是猜到答案的，怎么猜？

生5：画图猜出来的，感觉C在弧中间时最大.

师：画图？那么就是几何作图得到，很好.你的直觉非常正确.下面我们来给出几何解释.

从而x+y∈[12，52].

师：这位同学相当厉害！他将点乘基向量法和向量的几何意义结合起来，巧妙地解决了这个问题，值得学习.我们再来回顾一下这两位同学的想法.其实两位同学的想法在几何意义上无非是一个把OA拉到两倍的位置，一个缩到了原来的一半位置，但第一位同学遇到了困难，无法进行下去.可见我们需要不断地尝试和发现问题，才能探究得到新的结果.

变式2：如图2，AP=mAB+nAC，点P在阴影区域内（不含边界），

则m，n满足的条件是.

师：当P落在BC所在的直线上时，m与n满足什么条件？

生（齐）：m+n=1.

师：当P落在BC所在的线段上时，m与n满足什么条件？

生（齐）：m+n=1，m>0，n>0.

由此，学生很容易得到“m+n>1，m>0，n>0”，即为本题答案.

师：我们改变阴影区域的位置，就会发现很多新的问题，一起来看看一道改编的题目.

4.课后延伸

创编题1：如图3，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP

=xOA+yOB

，则x的取值范围