对数学分析教学的几点体会

【摘要】数学分析是大学数学专业的一门重要基础课.本文介绍了一些数学分析授课的技巧和体会.科学引导学生入门，注意中学知识与大学知识的衔接.对授课内容要科学取舍、抓住重点和难点，授课中要注意引导学生的兴趣.

【关键词】数学分析；授课技巧；难点

数学分析是大学数学专业的一门重要基础课，是考研必考的重要课程之一，也是大学后续课程的基础.数学分析的内容，已深入渗透至许多数学分支，并在诸多自然学科有广泛应用.研究如何科学地教授数学分析，可以更有效地培养学生的逻辑推理能力，提高他们分析和解决问题的能力.

一、科学引导学生入门，注意中学与大学知识的衔接

新生对大学开设的每门课程都流露出好奇的目光.在第一节课他们往往神情专注，充满了对知识的渴望，因而，上好第一节课非常重要.第一节课是展现教师魅力的最好时刻，学生目光如炬地注视着教师的一举一动，教师的每一句话对学生都会有警示和启迪作用.因而，教师有必要在第一节课对这门课强调以下三点：是什么？为什么？怎么办？即让学生知道这门课的主要内容是什么，为什么学习这门课，如何学好这门课.举例说明这门课对后续课程的影响，列举出自己学习这门课的心得体会.对于初学者一定要把中学和大学的知识衔接好.对于中学没有讲过或没有重点讲过的知识点，我们要及时补充.比如，极坐标、一些三角函数公式和反三角函数等.可以把这些知识点做成PPT，或者其他电子课件，通过图文并茂的方式传授给学生，做好科学的衔接.

二、科学取舍授课内容，难点和重点要突出

教师应该在反复阅读教材的基础上，科学地选择教学内容，精选讲课要点.例如，对极限概念的讲解是数学分析课程的重中之重，因为极限理论是数学分析的核心.由于中学阶段学到的量都是静态的量，学生很难对极限有很好的理解和掌握.进入大学后，他们接触到的是“严格意义下的微积分”，对极限的严格数学定义很难理解.例如，数列极限的“ε-N”定义.要想让学生真正理解什么是极限，把中学里“静态的量”转化为大学里“动态的量”，是一种从中学到大学思维方式的转变.对极限概念的讲解一般从数列的无穷小的变化过程讲起.让学生深刻认识到无穷小到底是静态的还是动态的量，无穷小是零吗？这些问题很多学生是模糊的.即便是伟大的科学家牛顿当时也是困惑的.贝克莱指出：“牛顿在求导数时认为无穷小既等于零又不等于零，招之即来，挥之即去.”我们的学生也会想当然地认为无穷小就等于零.而无穷小是一类趋向于零的数列或函数，它是一个动态的变化过程.为了让学生对概念进行充分理解和掌握，首先，要完整地给出概念的具体背景，通过多举例、多分析讲清概念的来龙去脉.其次，密切结合中学的数学知识和一些初等微积分的内容，利用悖论和反例使学生体会到微积分严格化的必要性.

數学分析的另外一个难点是三个“一致”，即一致连续、一致有界、一致收敛.我们知道这三个“一致”是最难讲解清楚的.一致连续是一个整体变化过程，它要依赖一个所给的区间.判定一个函数的一致连续与非一致连续依赖于区间的选择.我们可以使用定义、柯西收敛原理，也可以使用归结原则，总之方法灵活多变，讲解需要多举例、多分析、抓住要害.而一致收敛是函数列和函数项级数这一章的难点.函数列的一致收敛也是一个整体概念，它的收敛要依赖函数列的整体定义域.判定一个函数列在所给定义域上是否一致收敛是初学者的难点，方法灵活多变，对余项准则和柯西一致审敛原理的使用要求要熟练.总之，在讲解三个“一致”时，例题要精选，多举范例和反例，让学生真正体会到“一致”与“非一致”的异同.

三、授课中如何引导学生的兴趣

在数学分析的教学中，教师培养学生对该课程的兴趣，调动学生的学习积极性，是十分重要的.“当你喜欢一个人的时候，他的一举一动，一点变化你都看在眼里，别人都变成了常数，他才是唯一的变量，只为他倾倒，如此偏爱成为偏导.”这段近期被疯转的微博出自浙江大学数学系教授苏德矿.学生都尊称他为“矿爷”，他的数学课程生动活泼，人气很旺，学生很期待听他的课.而在他的数学世界里，许多抽象的概念和公式都可以找到生动的类比.教师在课堂上如何才能引起学生的兴趣呢？很多数学大师认为，教师必须对该课程了解得既要深入又要宽广，站在科学的最前沿，要不断更新自己的知识体系，这样在教学中才能体现个人魅力.教师在讲解某些著名定理时，如果能穿插数学名人小故事，既可以活跃课堂气氛，也能使学生对定理记忆深刻.例如，在讲到拉格朗日定理、柯西定理和阿贝尔定理时，给学生插入一些关于这些数学名人的小故事，学生立刻会兴趣盎然.关于柯西的故事很多，他首先是个高产数学家，一生发表了800多篇论文，可以说是一个数学传奇人物，有关他的有趣传闻也很多，教师可以选择适合自己教学内容的故事.学生在学习知识的同时也学到和记住了前人进行科学探索的方法.教师只要舍得付出辛苦，把自己的能力兑换成充满笑声的课堂是能够实现的.

【参考文献】

[1]陈传璋等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]陈纪修等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]金玲玉，房少梅，刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会[J].大学数学，2012，28（4）：25-30.

[4]谢素英，焦振华.关于复分析教学的几点思考[J].杭州电子科技大学学报（社会科学版），2008，4（4）：71-73.