问题解决与高中数学核心素养培养

谭含影

[摘 要] 核心素养是从素质向素养的理论提升，是促进课程改革的新的概念.在高中数学教学中，要培养学生的核心素养，必须有可靠的抓手. 问题解决是高中数学教学的关键，其涉及学生综合数学知识并运用的能力，可以为核心素养提供坚实的基础. 在核心素养的视角下观照问题解决，也可以为其赋予新的内涵.对核心素养的研究，可以拓宽教师对数学教学的理解.

[关键词] 高中数学；问题解决；核心素养；培养

仔细研究核心素养，会发现其与提倡已久的素质教育，以及十多年来的课程改革是密切相关的，核心素养提出者的初衷之一，就是以之引导课程改革的进一步深化，而从素质到素养，从概念上来看只是一字之差，但其内涵则大不相同. 因此核心素养的培养，严格来说并非一件轻而易举的事情，具体到高中数学教学里，通过什么样的途径来培养学生的核心素养，这不仅仅是一个寻找核心素养培养途径的问题，而是一个牵涉数学教学的宏观视角与核心理解的过程. 从传统认知的角度来看，数学作为一门基础性的学科，其作用在于帮学生解决问题，而在问题解决中形成的能力，其实又构成今天所强调的核心素养的一部分，因此从问题解决的角度来培养学生的核心素养，是合乎逻辑的. 但是，从问题解决出发培养核心素养，又绝不只是将传统的对问题解决的理解套上核心素养的帽子，不是换汤不换药，而应当建立全面的理解.

素养视角下的问题解决

在高中数学教学的视角下，问题解决在传统的视角里，是指学生利用所学的数学知识去解决数学问题或生活问题.从更为学术的角度来看，这里可能用到学习心理方面的一些理论，解释会复杂一些，但实质基本上还是这样.

当从核心素养的角度下来关注问题解决时，问题解决的内涵似乎可以变得更加丰富. 这里不妨再来思考一下何为核心素养，除了已经获得认同的核心素养是指学生在面对社会需要时表现出来的必备品格与关键能力，除了与核心素养相关的文化基础、自主发展与社会适应之外，核心素养还有哪些内涵？有研究者指出，“素养是个体在‘特定的情境下成功地面对生活要求与社会挑战时，所表现出来的顺利执行生活任务、解决社会问题的能力”，并强调“素养是个体（学生）与情境的互动中表现出来的”，于是我们就有了进一步的理解：当一个个体面对生活需要或社会挑战的时候，其凭什么去应对这种挑战？显然，需要的是问题解决的能力，这种能力其实是所掌握的知识、技能与态度的总和，而这显然又对应着课程改革所强调的三维目标.

具体到高中数学教学中，可以结合一个具体的例子来做出理解：

在“向量”（人教版高中数学必修4）这一知识的教学中，有“用几何图形解向量问题”的教学环节，这是一个问题解决及其能力培养的过程. 其中涉及的数学知识有平面向量的概念、平面向量的运算等；从数形结合的思想角度来看，这里涉及向量的几何表示，尤其是三角形法则、平行四边形法则的运用等（本身这些法则就彰显出向量教学中的数形关系）；同时，向量本身就是一个重要的数学工具，在问题解决的过程中，向量自身的工具性会凸显向量的知识价值与工具价值.

此处，向学生提出的向量问题可以具有一定的层次性：基本层次的可以是已知向量的加减并求其夹角，如a=1，b=2，c=a+b，且c⊥a，求a与b的夹角；稍高层次的可以是给出非零向量，然后让学生用几何图形去描述其运算关系，如（a+b）⊥（a-b）；更高层次的可以在构图意识的驱动之下，让学生通过几何图形来求更为复杂的问题，如已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），求3a-4b的最大值.

这些问题的解决其实也是分层次的：基本的层次是利用数学知识来完成问题的解决，但那实际上只是习题的解答，严格来说还不是问题解决. 从更高层次的角度来看，这里的几个问题的解决可以上升到数形结合的层面上来认识，即让学生认识到在解决向量问题的时候，几何思路是一个重要的思路，而这即是知识素养向方法素养的转变，如果再向生活延伸，那可以发现在某些实际问题的解决如大型建筑等，就可以在这种数形结合的思想之下获得问题的解决.而这，就是核心素养的一种体现，因为其已经将数学知识、技能转化为解决实际问题的综合能力了. 这里需要特别强调的一点，就是学生的态度问题，核心素养的研究者指出，态度对于素养的形成有着“指数级”的作用，往往态度认真一倍，素养就能变成原来的四倍. 而态度更是促进知识技能向素养转化的关键，如果说知识与技能是核心素养形成的硬件，那么这个硬件是要靠态度这个软件来驱动的.

问题解决生成核心素养

基于以上思考可以发现，在问题解决的过程中培养学生的核心素养是可能的. 如果说用态度驱动学生核心素养的形成是本研究的一个重点，那么对问题解决何以能够实现核心素养的形成，就成为研究的另一个重点.

问题解决的心理机制是，学生在问题的驱动之下，启用已有的认知，对数学问题的解决方向进行判断，对选用哪些数学知识来完成问题的解决进行判断. 根据这一机制去分析核心素养的培养，可以得出如下认识：

第一，学生启用数学认知，就是知识素养形成的过程. 如在面对有关函数的实际问题的时候，教师提出问题：是不是无限次的方程都可以得到根式解？在这个问题的驱动之下，学生会自发地运用已有的数学知识去进行猜想，而当笔者向学生介绍挪威数学家阿贝尔等人的研究成果时，学生认识到了五次以上的方程及相关的函数一般都寻找不到根式解，于是新的问题产生了，如何解决这些高次方程及相关的函数的求解问题呢？这就得在数学工具的选择与运用中形成新的素养了.

第二，判断问题解决方向与问题解决工具的选择，是数学直觉能力的形成过程，对应着生活中数学直觉的素养. 面对相关的方程的问题，用“二分法”解題是最佳的选择之一，如教师提供了问题：已知函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，且f（2）<0，f（3）>0.请问如何找出这个零点？这个问题的分析中，学生会发现用传统的解题思路无法求解，但根据题目所给的条件，这个零点又肯定在某个范围之内，于是解题方向就逐步明确：可以逐步缩小零点所在的范围，然后尽可能准确地确定零点所在的位置. 这样尽管二分法的概念没有出现，但思路其实已经形成.

第三，在问题解决过程的反思中让素养系统形成. 每一次数学问题的解决，笔者所必做的一件事情，就是让学生回顾问题解决的过程，在这个过程中，学生实际上是完成一次从知识向能力转换的内化过程，也是将能力进一步内化为数学直觉的过程. 其最大的价值就在于学生在生活中遇到相关问题的时候，可以形成更好的数学直觉，以让数学在生活中的运用变得更为直接，而这正是核心素养最重要的体现.

需要强调的是，以上分析具有步骤特征，但实际上核心素养的形成往往是融入一个具体的问题解决过程中的，分开阐述只是为了行文方便，实际核心素养的形成过程却是整体的、内隐的，这是需要认清的核心素养形成的本质之一. 如果将核心素养上升到文化的角度，则更应当看到数学学科的核心素养与数学文化密切相关，无论是数学教学中数学史的引入，还是数学在实际生活中的直接应用，背后都有显著的文化特征，这种文化力量的驱动，也应当成为高中数学课堂上核心素养培养的途径之一.

重建高中数学教学理解

核心素养对高中数学教学的冲击，绝对不只是简简单单的一个新概念的引入，而是要重新建立对数学教学的理解.

诚如核心素养研究者所指出的，“核心素养最终是指向人的”，这里的人自然是指学生，那么高中数学学习应当指向学生什么呢？除了课程标准所列出的若干个核心概念之外，还应当有什么？这是数学教师要思考的问题. 笔者在实践的一个深刻经验是，任何一个数学知识的教学，教师不妨自己思考一下：对于所要教的知识，自己能够将其延伸到生活中的哪些方面？即自己能够发现所教的数学知识在生活中有哪些实际应用？数学方法的教学也是如此，比如我们常说数学建模，那生活中有哪些数学建模？教师除了在習题解答时想到数学模型之外，在生活中是否想到生活模型？带着这些问题去思考，就会发现更为广阔的教学空间. 简单如电信资费的数学模型建立，复杂如经济发展的模型建立，笔者还注意到有一个女博士针对美国建国以来的金融政策变化，制定了一个数学模型，结果发现美国的政治、军事服务于金融的模型，引发业内的广泛讨论. 作为数学教师，关注这些信息，对于课堂上培养学生的核心素养也是有好处的.

总而言之，核心素养最终需要指向学生，需要指向学生的生活，那数学教师对教学的理解就要拓宽到学生与生活中，只有这样，核心素养的培养才不至于成为一句空话！