从中考压轴题浅谈实践教学

黄笠

[摘 要] 中考的命题趋向指导着初中教学的主要内容，近年的中考题越来越贴近实践探究，注重考查学生的动手探究能力，本文就中考试卷中关于矩形折叠的综合题进行分析解读，并开展教学研讨，以通过试题解析和价值探究给初中教学提几点建议，供同行探讨、交流.

[关键词] 中考；压轴题；研究；教学

近年的中考题出现了一类以操作分析为主题的题型，此类题设计新颖，结构巧妙，将书本知识与数学思想相结合，考查综合实践能力的同时考查学生研究、分析、猜想、论证的能力，其中以图形变换为载体的问题较为突出. 教学革新逐步推进，培养学生的综合实践能力成为新的要求.

真题呈现

如图1，四边形ABCD是矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点D与坐标原点重合，点B的坐标为（3，4），将矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边的点G处，点E，F分别在边AD，AB上，且点F的坐标为（2，4）.

（1）求点G的坐标；

（2）求直线EF的解析式；

（3）已知点N在x轴上，则直线EF上是否存在一点M，使得以M，N，F，G为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

试题背景

此题是一道典型的将四边形性质运用与折叠相结合的热点问题，本文将详细解析此题的解法思路，立足本质，探讨教学启示. 中考结束后，考生对此题的感慨多是：题目设问简单，但缺乏解题思路；明知需要分类讨论，但不易画出图形；即使能画出图形，也不一定能画出所有可能情形并正确计算出结果. 因此，试题有一定的区分度，体现了让不同的学生在数学上有不同的发展.

试题点评及解析

1. 试题点评

本题有三个小问，以矩形的翻折为载体，将矩形与坐标系相结合，主要考查矩形的性质、三角函数、三角形全等的判定、直线解析式、平行四边形的性质等初中数学重点知识，考查了学生的分析理解能力、迁移能力和一定的空间想象能力. 第（1）（2）问较容易，第（3）问是本题的难点，需要学生动手绘图，采用分类讨论思想探寻平行四边形的位置，并利用全等三角形知识进行计算.

2. 试题解析

（1）由已知可知FG=AF=2，FB=1，因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 所以BG===. 所以点G的坐标为（3，4-）.

（2）设直线EF的解析式为y=kx+b，在Rt△BFG中，有cos∠BFG==，所以∠BFG=60°. 所以∠AFE=∠EFG=60°. 所以AE=AF·tan∠AFE=2tan60°=2. 所以点E的坐标为0，4-2. 又因为点F的坐标为（2，4），所以可用两点法求得直线EF的解析式为y=x+4-2.

（3）需要对FG为平行四边形的边和对角线进行分类讨论，探讨可能的平行四边形的具体形状. 如果以M，N，F，G为顶点的平行四边形存在，则可能存在以下几种情况.

①当FG为平行四边形其中一边且点N在x轴正半轴上时，假如满足条件的平行四边形存在，则图形如图2. 过点M作MH⊥x轴于点H，则可以证得△MHN≌△GBF，于是有MH=GB=，即y=. 因为点M在直线EF上，且直线EF的解析式为y=x+4-2，所以可以求得x=，所以此时点M的坐标为，.

②当FG为平行四边形其中一边且点N在x轴负半轴时，图形如图3. 类似①的解法，可以求得此时满足条件的点M的坐标为，-.

③当FG为平行四边形的对角线时，图形如图4. 过点M作MH⊥FB，交FB的延长线于点H. 容易证得△MFH≌△GNC，则有MH=CG=4-，所以此时点M的纵坐标为8-，代入直线EF的解析式，可以得到点M的横坐标为，所以此時满足条件的点M的坐标为，8-.

综上所述，存在满足条件的点M，且点M的坐标为，或，-或，8-.

试题研究价值

1. 把握命题方向——源于教材，立足实践

新课标注重考查学生的动手操作能力和实践探究能力，倡导对学生自我实践能力的培养. 这几年，中考数学命题通常是围绕大纲，结合教材知识点命题，基本的折叠问题在苏科版教材八（上）中心对称图形的复习题中出现过. 中考考题多以翻折、旋转、平移等图形变换为载体，融入勾股定理、三角形全等、三角形相似、数形结合、分类讨论等思想方法. 各地中考对学生活动过程的考查也越来越多，趋势是源于课本但立足于实践，题目新颖但不背离教材，贴近生活，学生在解题时不会感到陌生，但实际题目综合性强，难度也不小，对学生基础知识、综合实践能力的考查要求较高. 以本题为例，以矩形的折叠为载体，考查学生的推理判断能力，所以想要取得好的教与学的效果，关注中考、把握命题方向是关键. 因此，教师在平时要将教材概念与例题相结合，重视教材与试题的整合与拓展，进行引申教学，针对中考新命题趋势备课讲授，在认真研读中考“源”题的基础上，开展丰富有效的数学活动，让数学课堂注重培养学生的能力发展.

2. 探究试题迁移——变化万千，渗透思想

对于折叠四边形为背景的试题，在平时的教学和复习中，我们也经常遇到，各地中考题也多次出现.

例如2013年江苏苏州中考试题：如图5，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10 cm，BC=12 cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1 cm/s，点F的运动速度为3 cm/s，点G的运动速度为1.5 cm/s. 当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动. 在运动过程中，△EBF关于直线EF对称的图形是△EB′F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）.

（1）当t=______s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

上述中考题中出现了△EBF关于直线EF对称的图形△EB′F，实际上就是以矩形折叠问题为背景，研究的方法具有相似性和通用性. 在教学中，要达到使学生会做这类题，不仅在于学生要多练，还在于教师要重视题目本质的讲解. 对于折叠问题，需要有效地将图形与坐标进行结合，在折叠过程中需要将轴对称性质、全等三角形、相似三角形等基本几何知识置于坐标系中进行研究，考查了学生的数形结合能力和想象力. 通过不同题目的对比，能让学生逐步体会数学方法在解题中迁移的重要性，达到举一反三. 在本题的翻折问题中，紧紧抓牢翻折前后对应边相等和对应角相等是解题的前提，要在图形变化中寻找不变要素，最后运用分类讨论思想、三角形相似的知识进行解答. 分类讨论思想作为数学的基本思想之一，要不断地在练习中渗透并运用. 数学思想方法是數学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁. 因此，在平时的教学中，教师要讲透题目中蕴藏的数学思想方法，通过题组教学和变式训练，不断提升学生对数学思想方法的迁移能力.

3. 尊重命题趋向——注重过程，凸显方法

《数学课程标准》指出：数学教育活动必须建立在学生的知识水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法. 历年的中考题都是中考的指向标，中考的趋势逐渐贴近学生实际生活，注重对学生综合实践能力的考查，这也提醒教师，在教学过程中不能过分依赖题海战术，一定要重视数学方法的掌握和积累，这样才能让教学更有效，才能充分保证学生的学习热情和积极性. 对于以翻折为载体的题目，也经常难住一批学生，比如下面这道2016年江苏苏州中考题：

如图6，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD=BE=4. 将△BDE沿DE所在直线折叠，得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______.

学生在平时的练习中接触过不少翻折问题，但是遇到此题缺乏解题思路的学生不在少数，部分学生对于翻折的条件不会运用，不能顺利发现四边形BEB′D为菱形，由此陷入解题困境. 另外一个瓶颈是学生没有熟练掌握求线段长度的三种方法：勾股定理、相似三角形和面积法，所以不会自主构造直角三角形利用勾股定理求解. 究其原因还在于学生对翻折过程中前后不变的量不清晰，对勾股定理的应用范围不清晰，在平时的学习过程中走马观花，缺乏参与度和方法的提炼. 学生对于一些数学方法的理解和掌握确实有一定的困难，而数学活动正好是解决这一困难的有效手段. 学生在数学活动过程中会慢慢地接受新知识、探究新知识、感悟新知识，比起传统的死记硬背概念公式更为有效. 教师要积极引导学生发现数学变化中“不变”的本质，给予学生充分的观察和思考时间. 在“四基”的教学中，教师既要注重知识的发生过程，又要重视问题的抽象表征，使得所学的知识容易被激活和提取，而不是对传统知识方法的简单罗列和记忆.

结束语

数学教学要紧紧围绕中考命题趋势，结合教材和大纲，透彻分析有价值有意义的考题，结合生活，注重实践，引导学生通过亲身实践发掘问题的本质，培养学生观察、分析、归纳、抽象和猜想等方面的能力，让学生从根本上认清问题，消化吸收知识，在实践探究中积累数学活动经验，掌握数学思想方法.