非对称夹持的裂纹悬臂梁振动响应分析

马 辉， 张文胜, 曾 劲, 武 爽

(1. 东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳 110819； 2. 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049)

非对称夹持的裂纹悬臂梁振动响应分析

马 辉1,2， 张文胜1, 曾 劲1, 武 爽1

(1. 东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳 110819； 2. 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049)

以悬臂梁为研究对象。基于ANSYS软件建立了带有单边裂纹和非对称夹持的悬臂梁有限元模型，分析了悬臂梁在偏移边界与裂纹耦合作用下的振动响应，揭示了系统振动与悬臂梁边界偏移量和单边裂纹之间的对应关系。研究结果表明：在给定裂纹深度、位置以及偏移边界的前提下，当裂纹位于下方时，随着边界偏移量的增加，振动响应中的二倍频幅值出现先减小后增大的趋势，由于偏移边界会改变梁的刚度，其振动响应结果类似于单边上裂纹，当偏移边界处于特定点时，其导致的类上裂纹效果和下裂纹在结构上达到对称，此时系统二倍频消失，且偏移边界离此特定点越远，系统的非线性越强；当裂纹位于上方时，随着边界偏移量的增加，振动响应中的二倍频幅值出现不断增大的趋势，这也是由于偏移边界导致的类上裂纹效果和上裂纹处于同侧增强了系统非线性造成的。

裂纹悬臂梁；非对称夹持；有限元；边界偏移量；振动响应

工程实践中，为了分析方便，很多构件都通过简化为悬臂梁的形式来进行定性分析，如汽轮机和风机的叶片等[1]。裂纹作为结构损伤的主要形式之一，很多学者针对悬臂梁的裂纹损伤机理开展了大量的研究工作。弹性体(梁、板、壳)内产生的裂纹[2]不仅会引起结构中局部刚度的变化，还会影响整个结构的机械特性。因此，理解裂纹结构的相关动力学特性是十分必要的。在不损坏整体结构的前提下，可以通过裂纹结构的振动特性对裂纹进行诊断[3-4]。很多学者也分析了由裂纹导致的复杂非线性振动响应[5-6]。Chati等[7]采用一种分段线性二自由度模型，研究了裂纹梁的非线性动力学特性。胡家顺等[8]建立了一个非对称疲劳裂纹梁的非线性数值模型,研究了结构在简谐荷载激励下的非线性动力特性。Ma等[9]通过改变裂纹的深度、位置、角度等参数，分析了裂纹对系统非线性特性的影响。李晓韬等[10]通过采用对称电压信号驱动压电振子，设计了一种非对称夹持式压电旋转驱动器。Natsiavas等[11]基于线性振荡器的非对称特性研究了非对称约束对振荡器谐波振动的影响。Nandi等[12]通过偏移边界来模拟非对称夹持，研究了在不同的边界偏移量下，非对称夹持悬臂梁在正弦激励下的非线性振动响应，如图1所示。并和单边裂纹梁的振动响应进行了对比分析。结果表明，二者振动响应具有很好的吻合度，从而说明单边裂纹是可以通过边界偏移的方式来进行等效的。

(a)非对称夹持模型

(b)带有边界偏移的简化模型图1 非对称夹持悬臂梁Fig.1 Cantilever beam with asymmetric gripper

由上述文献可知，国内外学者对于悬臂梁的研究多局限于单边裂纹或者非对称夹持，而对同时考虑单边裂纹和非对称夹持的悬臂梁研究还很少。基于这一点，本文研究了单边裂纹和非对称夹持间的耦合对悬臂梁振动响应的影响。

1 有限元模型及模型验证

本节的主要内容是有限元模型的建立和验证，以确保仿真计算结果的准确性和可靠性。首先选用模型参数建立有限元模型并进行对比验证，得出本文建立的裂纹梁模型的有效性；其次在此裂纹梁模型的基础上，利用Conta178接触单元模拟非对称夹持，验证非对称夹持单边裂纹悬臂梁系统模型的有效性。

带有单边裂纹和偏移边界的悬臂梁示意图，如图2所示。悬臂梁长度L=300 mm，横向裂纹位置离固定端距离为d1，非对称夹持离固定端距离(边界偏移量)为d2，裂纹深度为a，梁的截面尺寸为b×h=20 mm×20 mm。材料参数设置如下：弹性模量E=206.6 GPa，泊松比为μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，比例阻尼系数α=50，β=0[13]。载荷加载位置，如图2所示。本文采用无摩擦的接触有限元模型来模拟裂纹梁的呼吸行为。

1.1 裂纹悬臂梁模型验证

本文对裂纹梁的建模方式作如下处理：① 裂纹尖端处采用非奇异单元建模；②裂纹区采用8节点平面单元Plane183(平面应力带厚度)建模，非裂纹区采用梁单元Beam188模拟，如图3所示。在边界偏移量d2=0(忽略非对称夹持)的前提条件下，图4给出了开裂纹梁1阶弯曲固有频率f1随平面单元区宽度w的变化曲线。从图4可知，对于本文所研究的单边直裂纹，w的选取对1阶弯曲固有频率存在一定的影响但误差不大。本文选择w=20 mm作为平面单元区的宽度，且与文献[9]中采用奇异单元建立的裂纹梁模型进行了对比验证。图5(a)和图5(b)分别表示文献[9]和本文中的裂纹梁模型。从图5可知，两种裂纹梁模型的前3阶固有频率和振型误差均很小，其中二阶固有频率的误差稍大，约为0.16%，从而证明了本文建立的裂纹梁模型的有效性。

图2 裂纹悬臂梁模型示意图Fig.2 Schematic of cracked cantilever beam

图3 裂纹悬臂梁有限元模型Fig.3 Finite element model of cracked cantilever beam

图4 平面单元区宽度对1阶弯曲固有频率f1的影响Fig. 4 Effect of width of plane element region on the first bending natural frequency f1

1.2 非对称夹持单边裂纹悬臂梁的模型验证

本小节主要分析了非对称夹持和单边裂纹对悬臂梁振动响应的影响规律。图6给出了带有边界偏移的单边下裂纹悬臂梁模型。该模型采用三维点点接触单元Conta178来模拟非对称夹持，同时对接触单元Conta178作以下两点说明：①初始间隙的设置；②接触刚度的设置。由于非对称夹持的作用是使节点1处的y轴正向位移为0，而对y轴负向位移不起任何作用。因此，接触单元Conta178的设置必须以此为前提条件。本文将初始间隙设置为0，即节点4和节点1在空间位置上是重合的；接触刚度的设置以节点1处的振动响应为依据进行选择，其中激振力设置为正弦函数加载F=F0sin(2πfet)，式中F0为激振力的幅值，fe为激振力的频率，t为求解时间。各参数取值如下：F0=100N，fe=80Hz，t=100×1/fe。

(a) 奇异单元(w =50 mm)

(b) 非奇异单元(w=20 mm)图5 两种有限元模型下的前3阶模态对比Fig.5 The first three modal comparison between two models

图6 带有边界偏移的单边下裂纹悬臂梁Fig.6 Single-sided crack at the bottom of cantilever beam with offset boundary

图7给出了在不同接触刚度下，节点1处的y向振动响应曲线。由图可知，随着接触刚度的不断增大，节点1处的y轴正向振动位移不断减小，当接触刚度达到1011数量级时，节点1处的y轴正向振动位移几乎为0，而在此过程中，接触刚度的变化对于y轴负向振动位移没有影响。这说明了采用三维点点接触单元Conta178来模拟非对称夹持的合理性。因此，本文研究中，接触单元Conta178的接触刚度取值设置为k=1×1011N/mm。

图7 不同刚度下梁上节点1的y向振动位移Fig.7 Displacement of node 1 in y direction under different stiffness

此外，在给定裂纹参数的条件下，通过对悬臂梁自由端施加冲击载荷，得到了在不同边界偏移量d2下，裂纹悬臂梁作自由衰减振动时的三维谱图(见图8)，仿真参数设置，见表1。表2对图8中不同边界偏移量d2下的裂纹悬臂梁前2阶固有频率进行了统计。

图8 不同边界偏移量下悬臂梁作 自由衰减振动时的三维谱图Fig.8 Spectrum cascades of natural attenuate vibration of cantilever beam under different offsets boundary表1 仿真参数Tab.1 Simulation parameters

定量下裂纹参数冲击载荷变量边界偏移量d2/mmd1=150mmF=1000N2,4,6,a=4mmt=3.33×10-5s8,10,12

表2 在不同边界偏移量d2下的固有频率Tab. 2 Natural frequencies under different offsets boundary

2 不同边界偏移量及单边裂纹对悬臂梁振动响应的影响

本部分讨论了边界偏移量和裂纹位置的耦合对悬臂梁振动响应的影响，同时，根据裂纹所处的位置关系，分两节进行分析：①非对称夹持和单边下裂纹；②非对称夹持和单边上裂纹。

2.1 非对称夹持和单边下裂纹梁

选取裂纹位置位于梁的下方且裂纹深度a=4 mm，裂纹位置离固定端距离d1=150 mm，以边界偏移量d2为变量，研究其对悬臂梁振动响应的影响。

图9给出了6种边界偏移量和7种激励频率下的三维谱图，而图10表示二倍频幅值随边界偏移量和激励频率的变化规律。

对于单边下裂纹，边界偏移量d2和激励频率fe对悬臂梁系统的振动影响如下：

(1) 图9中在频率值为1 120 Hz左右处出现了明显的幅值放大现象，这是由于该频率和系统的二阶固

有频率接近导致的(见表2)。

(2) 边界偏移量d2相同时，随激励频率fe的增加，二倍频幅值呈增大趋势；随着边界偏移量d2的增加，三维谱图中倍频成分增多，非线性现象越明显，见图9、图10和表3。

(3) 激励频率fe相同时，二倍频幅值随着边界偏移量d2的增加，呈现出先减小再增大的趋势。为了进一步描述这种变化趋势，选择边界偏移量d2变化范围为[7, 9] mm，步长为0.2 mm，如图11和表3所示。以图11(f)为例来进行说明，从图11(f)可知，随着边界偏移量d2的不断增加，二倍频的幅值先逐渐减小后逐渐增加，并且在d2=8.2 mm处，二倍频幅几乎消失。图11中的其他图也体现出了类似的二倍频抵消现象。二倍频抵消现象在一定程度上说明了本文中的偏移边界也可以等效为单边上裂纹，边界偏移量的变动可以看做单边上裂纹位置的变动。当偏移边界处于特定点时，其导致的类上裂纹效果和下裂纹达到结构上的对称性会导致二倍频的消失。

图9 非对称夹持的三维谱图Fig.9 Spectrum cascades with asymmetric gripper

图10 二倍频幅值随边界偏移量和 激励频率的变化趋势Fig.10 Amplitude of double frequency changing over offsets boundary and excitation frequencies表3 不同激励频率下的二倍频幅值增减区间Tab. 3 The range of amplitude of double frequency under different excitation frequencies

激励频率/Hz二倍频幅值递减区间递增区间60[7.0,9.0]65[7.0,8.8][8.8,9.0]70[7.0,8.6][8.6,9.0]75[7.0,8.6][8.6,9.0]80[7.0,8.4][8.4,9.0]85[7.0,8.2][8.2,9.0]90[7.0,8.0][8.0,9.0]

2.2 非对称夹持和单边上裂纹梁

选取裂纹位置位于梁的上方且裂纹深度a=4 mm，裂纹位置离固定端距离d1=150 mm，以边界偏移量d2为变量，研究其对悬臂梁振动响应的影响。

图12给出了6种边界偏移量和7种激励频率下的三维谱图，而图13表示二倍频幅值随边界偏移量和激励频率的变化规律。

对于单边上裂纹，边界偏移量d2和激励频率f对悬臂梁系统的振动影响如下：

(1) 图12中在频率值为1 120 Hz左右处出现了明显的幅值放大现象，这是由于该频率和悬臂梁的二阶固有频率接近导致的(见表2)。

(2) 边界偏移量d2相同时，随激励频率fe的增加，二倍频幅值呈增大趋势；随着边界偏移量d2的增加，三维谱图中倍频成分增多，非线性现象越明显，见图12和13。

(3) 激励频率fe相同时，二倍频幅值随着边界偏移量d2的增加，呈现出增大的趋势(见图13)。与“2.1”中分析类似，边界偏移量d2的变动可以看做等效的单边上裂纹位置的变动。等效的单边上裂纹和实际上裂纹处于同侧时，二者的耦合会增强系统的非线性，直观上比单边裂纹的影响更为严重。

图12 非对称夹持的三维谱图Fig.12 Spectrum cascades with asymmetric gripper

图13 二倍频幅值随边界偏移量和激励频率的变化趋势Fig.13 Amplitude of double frequency changing over offsets boundary and excitation frequencies

3 结 论

(1) 提出了一种模拟非对称夹持的裂纹悬臂梁模型。

(2) 针对本文研究的非对称夹持裂纹悬臂梁模型，边界偏移量d2∈[2, 12] mm，当偏移边界和裂纹处于异侧时，随着d2的增加，二倍频幅值会出现先减小后增大的趋势，当偏移到特定位置时，二倍频幅值会消失；当偏移边界和裂纹处于同侧时，随着d2的增加，二倍频幅值会出现一直增大的趋势。

(3) 本文中的偏移边界导致的振动响应结果与单边上裂纹类似。

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Asymmetric gripper-induced vibration responses analysis for a cracked cantilever beam

MA Hui1,2, ZHANG Wensheng1, ZENG Jin1, WU Shuang1

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China; 2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In this paper, it mainly took a cantilever beam as a research object. The beam model with single-sided crack and asymmetric gripper was established by ANSYS software, and the boundary offset and crack-induced vibration responses were analyzed. The corresponding relationship between system vibration and the boundary offset of the cantilever beam and crack location were revealed. The results show that the double frequency amplitude of system vibration responses firstly decreases and then increases with the boundary offset when the crack is on the bottom of the beam, and the vibration effects are similar to single-sided up-crack because cantilever beam stiffness can be changed by the boundary offset. At the moment that the double-frequency component of the system disappears due to offset boundary, the up-crack and down-crack have reached to symmetry on the structure. The more distant the offset boundary is, the more intense system nonlinear becomes; double frequency amplitude of system vibration responses increases with boundary offset when the crack is on the top of the beam, it is also because the offset boundary-caused analogous up-crack and up-crack at the same side increase the system nonlinearity under the premise of the given depth, location of a crack and the offset boundary.

cracked cantilever beam; asymmetric gripper; finite element; offset boundary; vibration responses

国家自然科学基金委员会与中国民用航空局联合资助项目(U1433109)；中央高校基本科研业务费专项资金(N140301001; N150305001)；机械结构强度与振动国家重点实验室开放基金(SV2015-KF-08)

2016-01-12 修改稿收到日期： 2016-04-29

马辉 男，博士，教授，1978年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.007