“折纸做60°，30°，15°的角”教学设计

王鑫

[摘 要] 数学活动课在实际教学课堂中能培养学生的动手操作能力，发展学生的几何直观，加深学生对数形结合的理解. 运用“活力课堂”教学模式，能培养学生的学习习惯和思维品质，通过教学反思与评价，能达到教学相长.

[关键词] 数学活动课；几何直观；教学模式

教材分析

本节课位于人教版义务教育教科书《数学》八年级下册第十八章平行四边形数学活动1“折纸做60°，30°，15°的角”. 在此之前，教材已呈现折角平分线，折纸研究轴对称、全等等活动. 通过折纸，发展学生的几何直观，既是对学生之前所积累的数学活动经验和数学活动能力的巩固和提升，也是为学生进一步学习几何变换和几何论证、进一步强化动手操作能力奠定基础. 在传统教学中，本节数学活动课往往被教师们所忽视甚至省略，难以呈现在课堂教学中，然而在课程标准中，“综合与实践”部分具有加深了解所学知识之间的联系，进一步理解相关知识，发展应用意识和能力的作用.

教学目标

知识技能 （1）能折出60°，30°，15°等特殊度数的角；（2）加深對前面所学的轴对称变换、全等的性质、垂直平分线、三角形、矩形等知识的综合应用.

数学思考 通过折纸观察，加深“数与形”的紧密结合，让学生经历“观察、实验、猜想、证明、综合应用”的过程，发展学生的几何直观与推理能力.

问题解决 （1）学生从不同的角度分析问题和解决问题，发展创新意识；（2）提高学生的实践能力，初步形成评价与反思的意识.

情感态度 （1）积极参与数学活动，激发学生的好奇心与求知欲；（2）感受数学活动与实际生活的联系，在活动中获取成功的体验.

学情分析

有利因素 笔者所教班级的学生基础好，思维活，学生已经基本具备运用所学知识解决问题的能力.

不利因素 （1）操作和探究的经验欠缺，归纳能力尚需提升；（2）从数学的几何直观到抽象的数学语言描述转化能力不够强，严密的推理能力还有待进一步提高.

重难点

重点 让学生通过读书学会折纸做特殊角.

难点 从几何直观折图到抽象的数学语言描述，用多种方法推理证明所折的角为30°角.

教法学法

本堂课通过笔者所在学校“活力课堂”的教学模式，采用学生“动手三读”来获取简单的知识结构，再运用“两说合作”来实现对所学知识的完整理解，最后通过“三个追问”来打开学生思维的广度和深度.

教学过程

（一）情境导入——感受数学与生活

教师活动 折纸是一门艺术，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，折的过程中会用到很多数学知识，比如如何折出特殊的角度，这就需要我们通过数学知识来解决这个问题，下面我们就来具体学习一下如何通过折纸折出特殊的角度.

教师提出问题，并引发学生思考.

问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个45°的角？

问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？

问题3：具有倍数关系的60°，30°，15°的角，你能否用折纸的方法折出呢？怎样折？

学生活动 用矩形纸片动手折纸，并回答问题.

预设 把矩形纸片的90°角折叠成三等份，那么每一等份就是30°，由此，60°，15°也容易得到.

设计意图 让学生感受数学与生活的联系，激发学习兴趣，感受折纸可以得到具有倍数关系的角. 问题由浅入深，增强学生对新旧知识的联系，突出所学知识的整体性、系统性.

（二） 动手三读 ——自主学习新知识

教师活动 设置教材中有关的基础知识、基本思想和方法等问题，引导学生动手三读.

学生活动 阅读教材，动手折纸，完成导学案上的问题.

1. 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：如图1，第一步，______矩形纸片ABCD，使AD与______重合，得到折痕______，再把纸片展平；第二步，再一次折叠纸片，使点A落在______上，并使折痕经过点______，得到折痕______，同时得到线段______.

2. 演示折叠过程，你能试试吗？

3. 观察并猜想∠ABM，∠MBN和∠NBC的大小关系：______________.

预设 准确回答上述3道题.

设计意图 问题引领，以具体问题引导学生带着目的和兴趣来阅读，增强学生的积极性和主动性，培养学生的自主学习能力.

（三）两说合作 ——自己解决新问题

教师活动1 提出问题，引发思考：猜想出来的结论需要理论证明其正确性.

为什么∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°？教师参与学生活动，倾听并指导学生交流.

学生活动1 学生先独立思考，再进行小组合作学习，最后用数学语言写出证明过程.

对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：

第一步，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平.

第二步，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN.

求证：∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

设计意图 合作学习应该为每个学生提供“学了以后马上应用、讲给别人听”的机会（一说），还应该为更多学生提供对别人所说的内容进行评价的机会（二说），通过评价使合作学习成为一种比较学习. 合作学习能培养学生动脑动手动口的能力，提高学习效率，能培养学生良好的合作品质和学习习惯. 学生写出严密的推理过程，还能培养其推理证明的逻辑思维能力.

教师活动2 对学生代表的表现进行总评，总结解题要点，对本课的知识要点进行总结.

学生活动2 各组选派代表进行全班交流，其他组的同学也可以发表见解.

预设 （方法1）如图2，连接AN，由折叠可知EF垂直平分线段AB，所以AN=BN. 由折叠知AB=BN，所以AN=BN=AB. 所以△ABN是等边三角形. 所以∠ABN=60°. 由折叠知△ABM≌△NBM，所以∠ABM=∠NBM=30°. 所以∠NBC=90°-∠ABN=90°-60°=30°. 所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

设计意图 把课堂真正还给学生. 在同学讲解的过程中，发表自己的意见，虚心向他人请教，使合作学习成为一种比较学习，让学生学会正确地评价自己和他人，让班级形成民主和谐的合作氛围，有利于学习的顺利发展. 教师要总结解题要点，发展学生的归纳总结能力.

（四）三个追问——进行深层探索

教师活动 提出问题，引发思考.

追问1 用矩形纸片ABCD折出30°的角，还有其他方法吗？

学生活动 动手折纸，学生代表上台展示新的折叠方法.

设计意图 让学生对所学知识认识更为清晰，能对知识间的联系融会贯通，体现数学学习的灵活性. 问题引导，不断追问当前认识的问题还能不能从别的角度去认识，还有没有别的方法可以解决，追问更多新角度，打开学生思维的深度、广度和创新度，形成良好的思维品质，让学生逐步形成一种新的思维方式和习惯.

追问2 用矩形纸片ABCD怎么折出60°的角？

追问3 用矩形纸片ABCD怎么折出15°的角？

设计意图 呼应课题，从而完成教学目标.

（五）总结测评——共享学习快乐

（1）用矩形纸片折叠能折出哪些度数的角？__________________

（2）用矩形纸片折30°角的方法的共同之处是__________________.

（3）数学活动是经历设计并解决具体问题的方案，同时加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中尝试发现和提出问题，会参与活动的全过程，同时进行交流，进一步获得数学活动经验.

教师活动 引导学生从所学知识、方法、获得的数学思想进行自我总结，并展示中考题供学生欣赏.

中考链接 1. 如图7，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半. 这样的图形有（ ）

A. 4个 B. 3个

C. 2个 D. 1个

2. 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步，先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步，再一次折疊，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图8；

第三步，再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图9.

（1）证明：∠ABE=30°；

（2）证明：四边形BFB′E为菱形.

学生活动 完成导学案，自我总结当堂课的收获.

设计意图 知识、方法、数学思想的总结，能充分发挥学生的自我总结能力，并突出重点，抓住关键. 课程标准中对数学活动课的要求是，能扩大学生的视野，调动学生的积极性、主动性，能让学生体验到成功的喜悦. 中考链接能让学生感受数学折纸活动在中考中的地位，并将其布置成课后作业，让学生独立思考，不断追求新知，通过发现问题、提出问题、分析，创造性地解决问题.

（六）教学评价

笔者以“情境导入——动手三读——两说合作——三个追问”为主线，让每位学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 回顾这节课，成功之处主要有如下几点.

1. 情境引入巧妙. 一开始让学生欣赏折纸花，继而欣赏折纸艺术的图片，从而把学生的思绪带进特定的学习情境中，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲.

2. 扶放把握适度. 折纸做60°，30°，15°的角是本课重点，教师课前深钻教材，课中引导得当、扶放适度，使每位学生都有最大的收获.

3. 体现课改精神. 通过填空抓住关键词，实现全体同学参与，再通过同学间的相互提问、答疑，人人掌握证明方法；通过全班交流，体会证明方法的多样性，提升思维广度. 教师适时点拨方法，提炼方法关键词，为学生后续学习提供帮助，真正做到“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”.

本节课设计的理念是：以面向每个学生、服务每个学生为原则，让人人动手，让每位学生在不同层次上得到发展. 具体来说，本节活动课体现了一个“探”字，落实了一个“动”字，突出了一个“趣”字，提倡了一个“放”字，让学生自主探究问题，在活动中动脑、动手、动口，培养学生的合作交流意识，发展想象能力、创新能力.