规则设计及其公平性研究

宋扬

[摘 要] 公平竞争已逐步成为人类社会的一种制度，规则设计就显得尤为重要，其核心是公平性. 本文设计了许多数学活动，并运用到数学综合与实践中，激发了青年朋友们的好奇和兴趣，取得了令人满意的教学效果. 本文将活动课的内容和教学要点展示了出来.

[关键词] 规则设计；公平性；概率；胜负规则；等可能性；活动创新

课题

规则设计及其公平性.

事前准备

硬币3枚，相同的小纸条8张，背面相同的卡片8张，骰子2枚，小立方体4个，不透明的袋子1个，小球6个（红球3个，白球3个），转盘2个，彩色卡纸做成的相应盘面.

活动内容和实施过程

（一）运用硬币设计规则

1. 在足球比赛开始前，裁判员要拿出一枚质地均匀的硬币，请一方队长猜抛掷的硬币落地后是正面朝上还是反面朝上，猜对了该方就先开球，否则另一方先开球. 你认为这种方法合理吗？为什么？

2. 甲、乙2名同学抛掷质地均匀的硬币各一枚，落下后如果出现两枚都是正面朝上，则甲获胜；如果出现一正一反，乙就获胜. 请问这种竞赛规则公平吗？若不公平，请修改规则，使游戏公平.

3. 甲、乙、丙3人抛掷质地均匀的硬币各一枚，落下后，朝上的一面如果出现两正一反，则甲获胜；如果出现一正两反，则乙获胜；其余情形，丙获胜. 这种规则公平吗？请判定并叙述理由.

（二）运用纸条设计规则

1. 用抽签的方法从3名同学中选1名参加小记者活动. 取3张相同的纸条，并在其中1张纸条上画上记号，再把纸条分别卷起来（模样相同），放在一个盒子内搅匀，然后让这3名同学先后从中各抽取1张（抽出的纸条不放回），抽到纸条上画有记号的同学将参加这次小记者活动. 这种方法合理吗？为什么？

2. 用抽签的方法从5名同学中选派2名出席某场文艺晚会，请用纸条设计规则，并说明其公平性.

3. 从全班50名同学中确定10名参加期中调研考试，试用抽签的方法制定规则，并叙述其合理性.

（三）运用骰子设计规则

小刚和小红各掷一枚质地均匀的骰子，并分别制定了如下胜负规则：

1. 两人所掷骰子点数之和若为奇数，小刚胜；否则小红胜.

2. 两人所掷骰子点数之和若小于7，小刚胜；若大于7，小红胜；若等于7，不分胜负，重掷一次.

3. 两人所掷骰子点数之积若为奇数，小刚胜；否则，小红胜.

4. 两人所掷骰子出现的点数中，若一个点数是另一个点数的整数倍，小刚胜；否则，小红胜.

5. 两人所掷骰子的点数，若为一奇一偶，小刚胜；否则，小红胜.

请用列表法或画树状图的方法逐一说明上述各规则公平与否. 如果发现不公平，请修改相应的规则，使游戏公平.

（四）运用小球设计规则

1. 一个不透明的袋子中装有3个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同.

摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中摇匀，再从袋中任意摸出1个球. 请问：

（1）两次摸出的球都是红球的概率是多少？

（2）两次摸出的球为不同颜色的概率是多少？

2. 不透明的袋子中装有3个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，不放回，再从袋中任意摸出一个球. 甲、乙两人事先约定：若摸出的两球颜色相同，则甲胜；否则，乙胜. 你认为这个规则公平吗？为什么？如果不公平，请修改规则，使游戏公平.

3. （1）一个不透明的袋子中装有3个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中不放回地先后任意摸出2个球. 如果两球颜色相同，则甲胜；否则，乙胜. 你认为这一规则公平吗？请判定并叙述理由.

（2）假如把（1）小题中的“不放回”改为“有放回”，情形又将怎样？

（五）运用转盘设计规则

1. 质地均匀的转盘A被分成3个面积相等的扇形，且扇形内各标有一个数字，分别为1，2，3；质地均匀的转盘B被分成4个面积相等的扇形，且扇形内各标有一个数字，分别为1，2，3，4. 甲、乙两人约定了如下游戏规则：任意转动两个转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形内的两个数字相乘，若所得的积是奇数，则甲获胜；若所得的积是偶数，则乙获胜.（注：若指针指向分界线，需重新转动一次）

（1）你认为这样的规则公平吗？为什么？

（2）如果不公平，请修改规则，使游戏公平.

（3）如果不公平，试适当改写转盘B扇形内的数字，使规则变公平.

2. 一个质地均匀的转盘被分成3个面积相等的扇形区域，将其中2个区域涂成橙色，1个区域涂成紫色，并设定规则如下：甲、乙两人分别任意转动该转盘各一次，当转盘停止转动时，若指针2次落在相同颜色的区域，则甲获胜；否则，乙获胜. 这一规则公平吗？为什么？如果不公平，请给予修改，使公平.

活动创新素材

（一）运用卡片设计规则

1. 在4张相同的卡片上各写上一个数字，分别为2，2，5，9，将卡片洗匀后，反扣在桌面上. 小亮和小美做游戏，设定的规则为：随机抽取1张卡片，若卡片上的数字是偶数，则小亮胜；否则，小美胜. 你认为这个游戏公平吗？你能运用这4张卡片另外设计两种对双方都公平的游戏规则吗？不妨试试.

2. 仍用上述4张卡片，指定规则如下：随机抽取1张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽1张，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为十位上的数字和个位上的数字. 若构成的两位数不大于52，则小亮胜；反之，小美胜. 你认为这个游戏公平吗？试用列表法或树状图法帮助判定. 如果不公平，請你修改规则，使游戏公平.

（二）运用小立方体设计规则

1. 一个质地匀称的小立方体，有3个面标有数字3，有2个面标有数字2，有1个面标有数字1. 抛掷这个小立方体，落下后，若朝上的一面数字是3，则甲胜；否则，乙胜.你认为这一规则公平吗？请判定并叙述理由.

（4）在一个质地均匀的小立方体的每个面各标一个数字，使抛掷时朝上一面的数字能同时满足上述（1）（2）（3）的要求.

3. 一个质地均匀的小立方体的六个面各标有一个数字，分别为1，2，3，4，5，6，请在另一个匀称的小立方体的六个面上各写上一个数字，使如下规则公平：小刚与小红分别抛掷这两个小立方体时，若所掷朝上一面的数字之积为偶数，则小刚胜；否则，小红胜.

（三）运用转盘配色设计规则

两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A被分成m个面积相等的扇形，转盘B被分成n个面积相等的扇形，每个扇形内都涂有红、黄、蓝三种颜色中的一种. 同时转动两个转盘，停止转动后，若一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向蓝色，则配成紫色；当指针指向分界线时，需重新转动该转盘一次.

1. 取m=3，n=4，且转盘A中的3个扇形涂成红、黄、蓝色各1个；转盘B的4个扇形，2个涂成红色，另外2个涂成蓝色. 同时转动转盘A，B各一次，请问配成紫色的概率是多少？

2. 小刚和小丽用上述1中的两个转盘做游戏，设定规则如下：转动两个转盘，停止后若配成紫色，则小刚获胜；否则，小丽获胜. 试说明这一规则公平与否. 如果不公平，请修改规则，使游戏公平.

5. 仍取m=3，n=4，设定规则为：转动两个转盘，停止后若配成紫色，则小刚获胜；否则，小丽获胜. 要让这个游戏公平，若按1中转盘B的涂色不变，请问如何为转盘A重新涂色？

2. （1）所标数字为4个奇数和2个偶数即可.

（2）在两组相对的面上，所标数字分别为一奇一偶；在另外一组相对的面上，所标数字为同奇或同偶.

（3）在一组相对的面上，所标数字都为奇数；在另外两组相对的面上，所标数字分别为两个偶数或一奇一偶.

（4）要满足上述（1）（2）（3）的要求，所标数字的方法也是多种多样的. 如1，2；2，1；1，1. 又如1，2；2，3；3，3.

3. 已知一个小立方体的六个面上有3个奇数和3个偶数，由于在乘法中只有奇数与奇数之积才是奇数，所以另一个小立方体的六个面上要写的数字必须全是奇数.

（三）1. P（配成紫色）=

2. 此游戏规则对小刚不利，不公平，可修改为：若配成紫色，小刚得2分；否则，小丽得1分.

3. 把转盘B的4个扇形区域重新涂色：2红1蓝1黄，或1红2蓝1黄.

4. 把转盘A（6个区域）重新涂色：3红2蓝1黄，或2红3蓝1黄. 对于此种情形，可设计公平规则如下：若配成紫色，则小刚胜；若两指针所指颜色相同，则小丽胜；其他情形，平局.

5. 将转盘A的3个区域重新涂色：2红1蓝，或1红2蓝.

6. 将转盘B的4个区域重新涂色：（1）3蓝1黄.（2）3红1黄.

本次活动课教学要领

1. 所用道具在前一次概率活动课——随机试验专题中已经初步熟悉，这次主要是让同学们感受解决问题的情境，比较直观地察看随机试验可能出现的各种结果，并从中得到感悟和升华，而不是再去重复做大量的随机试验.

2. 公平性的本质是机会均等，在这里是指参赛双方（或多方）获胜的机会均等，即获胜的概率相等.

3. 解决公平性问题的关键，是分别求出参赛各方获胜的概率.

4. 着手点往往是借助列表或树状图，列出试验所有可能出现的结果，而且是等可能的. 要求既不遗漏，也不重复. 列表法和树状图法各有所长，当试验结果分为2步时，运用“表格”显得更为清晰，当试验结果分为3步（或以上）时，宜采用树状图法.

5. 古典概型具有两个基本特征：（1）随机试验所有可能出现的结果为有限个（有限性）；②每一个试验结果出现的可能性相同（等可能性）. 本次活动课的概率求解，都是根据概率的古典定义（古典概型）直接计算而得到，凡涉及转盘的问题，总是通过“等分”将几何概型转化为古典概型来解决.

6. 一方面，“等可能性”是一种假设，是一种理想状态；另一方面，根据实际情况或具体场合，完全可以判定某些隨机事件是否具有“等可能性”. 由客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等）或某种均衡性（如摸球、抽签等），就可以认为该试验所有可能出现的结果（基本事件）是等可能的.

7. “有放回”和“无放回”是有明显区别的. （1）结论往往不同. （2）抽签方法是公平的，采用的是“无放回”. 如果改为“有放回”，虽然也是公平的，但有时一个轮回下来，并不能达成目标，所以抽签方法更为合理，常被采用.

8. 在活动创新上，还可运用两种道具结合起来设计规则，别有特色. 限于篇幅，暂且略去.

在自然界和人类社会中，不确定现象大量存在. 概率刻画了随机事件发生的可能性大小，能帮助人们对一些随机现象做出预测和判断，为理性地制定决策（含设计）提供科学依据. 本文所讨论的规则设计是理想状态下的一些具体模型，以此为基础，可以推向更多的领域，前景非常广阔.