适切处理教材，提升学生的数学学习力

马荣

摘 要：数学教材是数学课程的核心资源。教学中教师既要尊重教材、研读教材、运用教材，也要重组教材、开发教材、拓展延伸教材。既要立足教材、洞悉教材主旨，也要立足主体、超越教材主旨。切实做到“用教材教”而不是“教教材”，由此发展学生的数学学习力。

关键词：数学教材；核心素养；延展教材；学习力

这里的“教材”是教科书，它是数学课程的核心教学资料，是核心的课程资源，但却不是唯一的教学资料、课程资源。在数学教学中，教师要基于教材但不能囿于教材，要“用教材教”但不能“教教材”。著名特级教师路培琦先生说，“教材就是提供给教师进行教学的素材，能给教师提供一个教学思路”。实践中，教师首先要研读教材，但不能照本宣科，将教材奉为圭臬、捧为圣经。为此，我们提倡基于教材适度地创造教材、开发教材、延展教材，进而丰富教材的实践空间。

一、立足教材，洞悉教材主旨

教材是教师展开教学活动的基本要素。教师展开教学首先要解读教材，并且要站在儿童的立场上解读教材，解读学生眼里、学生心中的教材知识。诸如学生已经掌握了哪些数学知识，学生会产生怎样的猜想，学生会采用怎样的探究方式等。通过教材解读，把握数学知识的生长线索、脉络、结构等。

1. 洞悉知识本质

教材中的知识是以“点”的形态出现的，是对人类“生命·实践”智慧的浓缩、压缩。教学中教师要对“知识点”进行解压，释放出知识的形成过程，释放出知识内蕴的思想方法。通过知识的解压，让学生重蹈人类知识建构中的关键步伐，把握数学知识的来龙去脉，把握数学知识的本质，不仅“知其然”，而且“知其所以然”。

例如教学《认识11～20各数》（苏教版小学数学教材第1册），教材呈现了一些小棒，要求学生数出10根小棒，捆一捆。如果教师就这样按照教材字面要求学生进行简单操作，难免误读了教材的设计与编写意图。教学中教师要还原数的产生历程，让学生理解用数表示物体个数的方法，感悟“以一当十”的思想。首先用多媒体展示远古时代的人们打猎用石子计数的场景，启发学生思考：石子太重怎么办？用小棒代替。有了十个怎么办？捆起来计算、扎起来计算等。然而，当捆的扎数多了，怎么办？以一当十。由此过渡到数位，让学生用计数器表示数，十个、十个地数，相应地产生了个位、十位。这种数的诞生过程在人类历史上经历了数千年，其间计算方法在优化，计算工具在发展、演变。学生在感知、交流中得到了深刻的体验，数学知识的本质得到彰显。

2. 洞悉知识结构

数学知识是一个整体，但却以“点”的形态散落在教材之中。教学中教师要通读教材，把握每一个知识点在整个教材中的位置，揣摩知识点该以怎样的姿态和学生照面。不仅把握知识点的来龙去脉，更要把握知识的左右勾连。美国著名教育家布鲁纳说，“学习的实质是一个人将同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构……教学就是要让学生理解该学科的基本结构”。

例如“因数和倍数”这部分内容，原来苏教版将之安排在四年级下册，将“公因数和公倍数”内容安排在五年级下册。新教材中则将这部分内容有意聚合到一起，全部安排在五年级下册。其意图很明显，就是让学生系统掌握知识，力避分散教学带来的知识碎片化现象。就“因数和倍数”这一单元的内容来说，从因数到公因数再到最大公因数，从倍数到公倍数再到最小公倍数，其间体现着知识的链式结构。扩展开来看，“因數和倍数”这一单元的知识又是“分数的加法和减法”“分数乘法”和“分数除法”单元的基础。教师只有具有整体的视野，才能在教学中左右逢源、游刃有余。

3. 洞悉思维方式

解读教材有不同的层次、境界：其一是能够洞悉知识的本质、结构；其二是能够领会编者的意图、思维方式。因此，数学教材解读有多个视角，例如教师视角、编者视角、学生视角等。尤其是编者视角，有时不是在某一个具体例题中得以展现的，而是需要将前后例题联通起来看。

例如教学《乘法分配律》（苏教版小学数学教材第8册），教材上只有一个例题，显然通过一个例题的教学让学生领会乘法分配律的本质是有困难的。但如果我们贯通教材，将加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律作为一个整体看，就不难发现，这些例题所承载的绝不仅仅是数学知识，更是一种思维方式，一种研究运算律路径的基本方法。这里是一种“猜测与验证”的思维方式。洞悉了这样的数学思维方式、探究方式，教师可以放手让学生展开自主探究。先是让学生通过具体的实际问题引发猜想：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。然后让学生举例验证，由于是“不完全归纳”，因此要启发学生多举一些例子，举一些不同数的例子。孩子们在经历了这样的猜想、验证过程，就能感受并体验到从特殊到一般的研究方式。教学中教师要有意地将这一过程延长，帮助学生理解并掌握同类问题的研究路径。

二、立足主体，超越教材主旨

对数学教材的解读不仅仅要立足于教材，更要立足于学习主体——学生。不仅要研究学生已有的知识经验、认知状态、认知需求，更要研究学生的认知方式、思维方式、活动方式。不仅要研究抽象的学生，更要研究具体的学生。

1. 指向核心素养，拓展数学教材

当下的数学教学必须转型升级，从知识取向转向素养取向，尤其要关注学生的核心素养。所谓核心素养，应该指形成一种数学思想方式、思维方式。教学中，教师要从核心素养的培养出发，对数学知识进行由点及线、由线及体的建构，让学生的数学学习“既见树木，更见森林”。

例如教学《圆柱的体积》（苏教版小学数学教材第12册），教材中的编排是将长方体、正方体和圆柱体放在一起进行比较、概括，形成“V=Sh”的体积计算公式。教师在教学中通常止步于这三种形体，由此导致学生在“等底等高”“等底等积”“等高等积”的圆柱、长方体和正方体的比较上经常出错。究其根本，是因为教师没有使学生形成“体积等于底面积乘高”的思维方式。要着眼于学生的核心素养，教学中教师必须拓展教材主旨。基于此，笔者超越教材，在实践中开发了“走进直棱柱”的主题，引领学生对直柱体进行深度研究。给学生提供了三棱柱、多棱柱、空心圆柱（钢管）、空心多棱柱等形体。学生在切割、推理与想象中深刻认识到“V=Sh”体积公式的本质内涵，体验到一种极限思想。

2. 指向实践运用，延伸数学教材

小学数学源于生活，指向运用。只有在运用中、在实践中学生才能感受并体验到数学知识的价值。数学教学中，教师要联系学生的数学运用进行教学，适度对数学教材进行拓展、延伸。数学教材不仅是一种“事实性存在”“关系性存在”，更是一种“实践性存在”。

例如教学《圆柱的体积》，教材主要是通过切拼法将圆柱分割、拼接形成长方体，进而推导出圆柱的体积。教学中教师通常按照教材将长方体的底面积、高与体积分别与圆柱的底面积、高和体积进行比较，进而得出圆柱的体积公式是V=Sh，即V=πr2h。因此，在解决问题中，当学生遇到这样的问题：一张长方形的纸，怎样卷成圆柱体积更大？尽管教师运用“假设法”假设长方形纸的长和宽，让学生计算、比较、得出结论，有时教师还给出两种不同卷法产生的圆柱命名为“高瘦瘦”和“矮胖胖”，但学生并不理解。如果教师在引领学生推导圆柱体积公式时，能够超越教材，将拼接成的长方体横着放、竖着放，推导出圆柱另外两个体积公式——V=S侧÷2×r，V=hr×，那么学生就能深刻理解。因为不管怎么卷，圆柱的侧面积是不变的，因此卷成圆柱的底面半径大、体积就大，底面半径小、体积就小。在此基础上，学生也能方便地解决求“大棚内的空间”问题。

3. 指向思维创新，开发数学教材

学生由于年龄和心理特质，往往不能主动地将数学知识融会贯通。教学中教师可以对数学知识进行动态处理，帮助学生沟通数学知识之间的深度关联，让学生尝试从整体、系统、全局和联系中去把握知识，将碎片化的数学知识有效整合，形成结构体。由此，帮助学生突破认知束缚、思维习惯。

例如《平行四边形的面积》《三角形的面积》和《梯形的面积》（苏教版小学数学教材第9册），它们在教材中的存在形态是静止的、孤立的。一位教师在教学中用動态生成的眼光对平行四边形、三角形和梯形的面积公式进行重新审视，运用多媒体课件对教材知识进行深度拓展。动态展示梯形的上底延长到和下底一样长，进而变成平行四边形的过程，动态展示梯形的上底缩短为0进而变成三角形的过程。演示中，教师不断启发学生，变成什么图形？可以用梯形的面积公式求出面积吗？如此，学生深刻地体验到“平行四边形”“三角形”和“梯形”的动态联系。

教材是数学教学的重要依凭。教学中，教师既要立足教材，洞悉教材主旨，也要立足学生主体，超越教材主旨。要根据教材特点，依据学生需要，因地制宜开发教材、重整教材，探寻教材中相关知识的“最大公因数”，对之进行“合并同类项”，真正做到“用教材教”而不是“教教材”，进而提升学生数学学习力。