数学史对职前教师教学知识影响的质性研究——以无理数的教学为例

黄友初

（南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097）

数学史对职前教师教学知识影响的质性研究
——以无理数的教学为例

黄友初

（南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097）

教学知识是教师特有的专业知识，对教师的教学有着重要的影响．以无理数的教学为例，研究数学史对职前教师教学知识的影响．研究发现，数学史能提升职前教师的无理数教学知识．在学科内容知识方面，数学史能帮助职前教师了解无理数和其它知识点之间的联系，了解无理数及其名称的由来．而数学史对职前教师教学内容知识的影响更大，能帮助职前教师更准确地判断学生的思维过程，更好地把握教学的重难点，使得教学设计变得更加合理．

数学史；教学知识；无理数

1 研究背景

教师是一项专业性较强的职业，教师有效教学所需要的知识是教师的专业知识，可称为教师教学知识或者教师知识，它有别于一般的学科知识，是教师职业专业化的必备特质．以数学为例，一般学过数学的人只要能理解并运用相关的数学知识即可，但作为数学教师除了需要掌握这些学科知识以外，还需要了解并掌握该知识点的重点和难点是什么，学生最容易出现哪些错误，该怎么教最适合学生的学习，知识点与学生已掌握的知识之间有怎样的联系，该知识点需要讲到什么深度即可，等等，这些都属于教师教学知识的范畴．知识是个体的核心特质，教师的教学知识直接影响着教师的教学行为，提升教师的教学知识，对促进教育的发展有着重要的价值．那么，哪些因素会影响教师的教学知识？教师教育中数学史课程的学习对教师的教学知识有着怎样的影响？这些问题目前还缺乏深入研究，这里将以无理数的教学为例，探索数学史对职前教师教学知识的影响．

2 理论基础

在20世纪初期，就有学者关注教师的知识结构和知识深度对教师教学的影响，并开始探讨教师的有效教学都需要具备哪些知识[1]．在早期，学者们都意识到教师所具备的学科知识对教师的教学会产生直接的影响．有学者研究表明，教师的学科知识与学生的学业成就在一定程度内（例如几门课程内）具有正相关性[2]；也有学者研究表明，教师的学科知识越多，教学越有效，与其它知识的联结也越多[3]．但是，学科知识并不等价于教学知识，并不意味着教师掌握的学科知识越高深，教学效果就一定会越好，这点从很多一流数学家在数学教学方面并不擅长就可以看出．在对教师教学所需要的知识进行深入探索后，学者们发现除了学科知识影响教师的教学以外，有关教学方法的知识也会影响教师的教学，并在教学中扮演着重要的角色．甚至有学者认为，怎么教比教什么更为重要[4]；也有学者认为有关教学方法的知识是教师教学知识的核心[5]．在美国学者Shulman提出PCK的概念以后，人们逐渐开始从学科知识和教学方法的知识两个方面对教师知识进行了研究，也提出了很多种教学知识的结构模型．其中美国学者Ball所提出的MKT模型，近年来受到学者们的广泛关注．该模型基于扎根理论，将教师教学知识分为学科内容知识（SMK）和教学内容知识（PCK）两个部分．其中学科内容知识又分为一般内容知识（CCK）、专门内容知识（SCK）、水平内容知识（HCK）3个方面；教学内容知识分为内容与学生的知识（KCS）、内容与教学的知识（KCT）、内容与课程的知识（KCC）3个部分[6]，具体如图1所示．由于该模型和教师教学的特点比较吻合，能从“教什么”和“怎么教”两个方面阐述教师有效教学所需要的知识结构，在教学知识的研究中得到较为广泛的运用．研究将以MKT模型为依据，分析教师教学知识的变化情况．

图1 MKT结构图

数学史对数学教育的影响已有较多的研究，也有很多学者探讨了数学史对数学教师的影响[7]，数学史对学生数学学习的影响[8]，以及数学史融入数学教学的各种策略[9]．但是从教学知识的视角，探讨数学史对数学教师教学影响的研究还不多．鉴于教学知识的重要性和数学史的教育性，有必要对数学史和教师教学知识的联系进行研究分析．

在无理数的教学中，如何让学生更好地认识和接受无理数，是教师在教学中面临的困难之一．之所以会出现这种现象，有其必然性．因为在学习无理数以前，学生所接触到的基本都是有限的世界，所学的概念都有着较强的现实背景；而无理数涉及到了无限的现象，要让学生更好地理解无理数的概念，教师需要在教学中培养学生无限的意识．从知识点的历史发展看，学生有这种困境也是必然的．无理数从出现，到被广泛接受，历经了一千多年的时间，根据人类学习的历史相似性，知识形成经历如此漫长的发展过程，要让学生在短短的一节课中接受和理解它是十分困难的．目前，已有很多学者对无理数的教学进行了研究，有教师介绍了自己的无理数教学经验[10]，也有教师指出无理数教学所存在的几种误区[11]．有学者研究表明，学生虽然对无理数的形式定义掌握较好，但是存在概念表象比较单一、直觉与形式知识不一致、直觉与运算法则不一致等不足[12]．也有研究表明，职前教师对无理数和有理数的个数的理解比较弱[13]．在无理数的教学方面，有学者从定义、概念等7个方面对无理数的教学提出了建议[14]，也有研究表明可以用数学文化和数学史来帮助教师改进无理数教学[15]．

由此可见，虽然在无理数的教与学方面已有较多的研究，但是对于无理数教学中所需要的教师知识，以及影响因素有哪些还缺乏研究．这里就无理数的发展历史对职前教师教学知识的影响情况进行分析．

3 研究过程与结果

3.1 研究方法与过程

不同的研究目的，需要不同的研究方法．一般来说，量化研究可以用来解决“是什么”的问题，而在研究“为什么”和“怎么样”方面，质性研究更适合[16]．鉴于教学知识的内蕴性和复杂性，难以通过合适的量表来测量教师的教学知识，因此采用质性研究会更为清晰地了解教师内心的变化过程．在研究对象方面，从某高师院校的三年级数学师范生中随机选取 10位进行研究，在研究中分别用 PT1-PT10表示．由于研究者即为数学史课程的授课教师，因此也属于行动研究的范畴，研究者将通过数学史课堂内外的观察，更好地了解职前教师教学知识的变化情况．

研究过程可分为5个步骤：

（1）要求职前教师在微格教室，对浙教版七年级上册3.2实数的内容进行模拟教学（1课时），并提交教学视频和教学设计．

（2）随后，研究者向他们介绍了无理数的发展历史，包括从公元前 Pythagoras学派发现无理数，到 Eudoxus和Archytas的新比例理论；从西方学者对无理数的排斥到东方学者对无理数的巧妙处理；从近代部分西方学者开始逐步接受无理数，到Weierstrass、Meray、Dedekind和Cantor等数学家所建立的无理数理论．以及无理数名词的由来，无理数教与学的现状，并向他们展示了若干数学史融入无理数教学的案例．

（3）在了解无理数的发展历史后，职前教师对原先自己的模拟教学进行反思．

根据地质情况及结合以往施工经验，采用CZ-8B型冲击钻机钻劈成槽，采用先Ⅰ序槽段的施工方法。在同一槽段内，先施工单号主孔，后施工双号副孔，主孔、副孔采用圆套方式劈打成槽。槽段造孔工作结束后，对造孔质量进行全面检查验收（包括孔位、孔深、孔径、孔斜等），检查合格后进行清槽换浆工序。

（4）反思过后，职前教师对原先的教学设计进行修改，并再次进行模拟上课，以及撰写自己的心得体会．

（5）最后，研究者对职前教师逐一进行访谈，访谈的主要目的是为了解他们的无理数教学知识是否出现了变化？有什么变化？这些变化是否属于数学史的影响？等等．访谈过程结合他们的模拟教学视频和教学设计，以帮助访谈者进行刺激回忆．

3.2 研究结果

通过对职前教师的访谈，以及他们前后两次教学视频和教学设计的对比发现，职前教师在了解无理数发展历史前后教学知识的变化情况存在较强的一致性，但是在变化强度方面存在较大的区别，具体变化情况如表1所示．

表1 职前教师学科内容知识变化情况

（1）数学史对教师学科内容知识的影响．

从表1可以看出，数学史对职前教师无理数教学的一般内容知识（CCK，主要指学科的本体性知识）和专门内容知识（SCK，指分析和解释学科内容的知识，包括掌握多种解题方法、能解释解题过程、分析错误原因等）有所影响，但变化不大．例如有部分职前教师是通过数学史的学习，才知道了可以用反证法来证明 2是无理数；也有部分教师通过数学史才了解无限不循环和两数不可比之间的联系．当然，也有部分教师是在这之前就知道了．相比较而言，在无理数教学的水平内容知识（HCK）方面，职前教师的变化更大一些．

教师的水平内容知识指教师能用联系的视角看待数学，了解数学概念在不同阶段的发展情况．在接触实数数学史知识前，职前教师对实数的认识还是孤立的．例如在教学的开始阶段，他们一般就会向学生介绍什么是无理数，进而用大量的时间来说明实数的分类，如何在数轴上表示实数等练习性内容．而在了解了无理数的发展过程以后，职前教师改变了这种认识，他们从历史中知道了无理数概念的产生是社会发展的必要、无理数名称的由来、历史上无理数的各种定义、无理数和有理数个数的比较等，并都意识到只有从根本上理解了无限不循环，才能更好地理解无理数．从职前教师的访谈和教学反思中可证明他们的这种变化．

由此可看出，通过对无理数发展历史的了解，职前教师知道了无理数存在的必要性，无限不循环的特点；了解了无理数的产生除了需要有理数的知识基础以外，还需要分割理论，等等．这些都说明了，无理数的历史帮助教师了解了无理数与其它知识点的联系，属于水平内容知识的范畴．

（2）数学史对教师教学内容知识的影响．

研究发现，与学科内容知识相比，数学史对职前教师无理数教学的教学内容知识有着更大的影响，尤其是在内容与教学知识（KCT）和内容与学生知识（KCS）这两个方面．内容与教学知识是教师的数学知识与教学知识两者的综合体，具体体现在教师能根据不同的数学知识，设计合适的教学方式，选取合适的例子和练习题．从研究情况看，在数学史课程前，职前教师大多都是严格按照教材上的顺序进行教学设计，对教学方式的优缺点也没有深入的思考．但是在了解了相关的数学史内容后，他们都意识到无理数的发展不是一蹴而就的，是在长期的发展中逐步完善的．因此教学的设计不能过于简单，而应该由易到难逐步递进，需要对教学的重点和难点做更多的设计．因此，都在新的教学设计中增加了例子，或者具有数学文化背景的教学内容．教学中不仅更加重视了对学习无理数必要性的强调，还针对学生可能存在的疑虑进行了强化．例如，在研究中职前教师发现，无理数是无限不循环小数这一论述的理解是教学的难点，学生对“无限”过程中是否一直都会“不循环”会存有疑虑．因此在后期的教学中，多数职前教师融入了阿基米德的反证法，用较为通俗的语言向学生介绍了是无理数的证明过程．这不仅可以很好地消除学生的疑虑，突破教学难点，也在一定程度上体现了数学的严谨性．

内容与学生知识是教师关于学生学习特点和知识基础，以及所教学的知识点的类型、难度等方面的综合体，包括教师能估计学生可能的想法，可能遇到的困难等方面的知识．在了解无理数的历史以前，职前教师的教学设计较为单一，教学内容和教学过程大多以教科书为参照。在简单演示的无限循环性后，提出了无理数的概念，然后做练习．访谈表明，职前教师之所以这么设计，是因为他们觉得无理数概念比较简单，学生应该能会比较容易理解．但是，在了解了无理数的相关历史以后，职前教师意识到无理数是经历了一千多年才被大家所接受，要学生很快理解无限不循环的含义是比较困难的，有必要减缓教学的坡度，增加理解性的内容或题目，此举让他们的教学设计更加合理．职前教师的访谈和教学反思都证明了他们的这一变化过程．

例如 PT4认为，原来对教学想的太简单了，以为用课本那个表格，可以让学生理解就是无限不循环的，从而接受无理数的概念，现在看来这种方式可能不太行，即使学生不反对无限不循环这种说法，他们的认知里并没有真正理解这一过程；PT2认为，原来把学生想的太理想化了，认为他们应该很快就能接受无理数的概念，现在看看无理数被人接受经历了如此长期曲折的过程，要让学生很快理解无限不循环就太不现实了，应该设置一些情境，用例子来辅助说明，最重要的是要把无限不循环的这个特点讲得清楚；PT6认为，原来的教学设计即使学生课堂上知道了什么是无理数，也属于死记硬背，缺乏理解很快就会忘记的，从历史中可得知要学生理解无理数的概念，应该让学生充分地理解无理数的无限不循环，而不能简单地抛出概念，然后要求他们不停地计算、解题．

由此可看出，职前教师从无理数的发展历史中得到了借鉴，对无理数的教学有了更深刻的认识，认为对于无理数的概念不能简单地一笔带过，应该创设情境，让学生充分地理解无限不循环的过程．可以说，数学史对职前教师无理数的教学内容知识产生了较大的影响．

但是，研究中也发现，数学史对个别职前教师（PT7）的内容与课程知识（KCC）产生了负面的影响．内容与课程知识指教师要了解数学内容在不同年级的课程中的出现顺序以及难度等信息的知识．无理数的发展史上，毕达哥拉斯学派发现了毕达哥拉斯定理后，发现了直角边为1的等腰直角三角形的斜边长度无法表示成两个数之比，导致了无理数的产生．受到这段历史的影响，研究者发现有职前教师利用勾股定理引出无理数，这与教材中内容出现的次序是相悖的．因为在教材中，学生是先接触无理数，此后才学习勾股定理的知识．由于历史和课程教学内容的安排并不是完全不一致的，导致了数学史对个别职前教师无理数的内容与课程知识有了负面的影响．由此可看出，数学史对教师教学知识的影响也可能是负面的，尤其是在知识点的历史发展顺序和知识点在教科书中出现的次序不一致的时候．

4 研究结论

通过研究，发现数学史对职前教师无理数教学的学科内容知识有影响，但是幅度不大．对一般内容知识没什么影响，在专门内容知识方面虽然有所促进，例如能正确的解释并证明是无理数，但是还不能认为其有本质上的提升．只在水平内容知识方面有了一些提升，主要表现为了解了无理数和有理数的名词来源，能用联系的观点看待无理数知识，也了解了无理数和高等数学之间的联系，但是幅度还不大．

而数学史对职前教师无理数教学的教学内容知识有了较大提升，尤其是在内容与教学知识和内容与学生知识这两个方面．这主要体现在，职前教师从无理数的发展历史中意识到知识点是经历了漫长的发展才逐步完善，才逐步被人所接受，学生要理解无理数不会那么容易，应该在概念的呈现中优化教学设计，通过创设情境、展示不同例子，或者增加具有数学文化背景的内容，让学生更好地理解无理数，而不是简单地引出概念后重复各种课堂练习．研究还发现，数学史对个别教师无理数的内容与课程知识产生了一些负面影响，这主要是由于教材中知识点出现的次序和历史发展不完全一致引起的，后续研究需要引起重视．但是这点并不能掩盖无理数的发展历史有助于提升职前教师的无理数教学知识这一研究结论．

从研究中可看出，了解知识点的历史，教师不仅可以扩大知识面，加深学科知识的理解，还可以从知识点的历史发展中，更好地判断学生接受知识点的难易度，从而让教学设计更加合理．一些历史素材可以直接或者间接作为教学素材呈现给学生，提升课堂的文化品味．数学史是一座大宝藏，如果认为数学史仅仅是可以让教师在课堂教学中讲一些数学故事，激发学生的学习兴趣，这种认识是十分片面和狭隘的．研究表明，数学史可以提升教师的教学知识，促进教师的专业发展．让教师的教学更有自信，也能更好地实现“立德树人”的教育目的．研究也说明了，在教师教育中开设数学史课程，从教学的视角向职前教师阐述数学的发展历史是十分有必要的．

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Qualitative Study on the Influence of the History of Mathematics on Pre-Service Teachers’ Teaching Knowledge——A Case of the Irrational Number’s Teaching

HUANG You-chu
(Institute of Curriculum and Instruction, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Teaching knowledge is teachers’ professional knowledge, has big implications for teachers’ teaching. In this study, research the influence of the history of mathematics on teachers’ teaching knowledge as the case of the irrational number. The study found that the history can improve pre-service teachers’ teaching knowledge. In subject matter knowledge, the history of mathematics can help pre-service teacher know more knowledge about the irrational number. The history of mathematics has more influence on the pre-service teachers’ pedagogical content knowledge, let them know student’s thinking more accurately, better judge the focus and difficulty of teaching, and make the teaching design more reasonable.

the history of mathematics; teaching knowledge; irrational number

G650

A

1004–9894（2017）01–0094–04

[责任编校：周学智]

2016–10–10

江苏高校优势学科建设工程资助项目（PAPD）；教育部人文社科项目——数学师范生教学知识发展研究（14YJC880022）

黄友初（1978—），男，浙江温州人，副教授，南京师范大学教育学博士后流动站博士后，主要从事数学课程与教学论研究．