例谈估算法在解题中的应用

2017-04-29程光宇柏银花

数学学习与研究 2017年8期

程光宇+柏银花

《数学课程标准》指出：“加强估算，鼓励算法多样化.”估算在人们的日常生活、生产劳动和科学实验中有着较为广泛的应用，估算能力是计算能力不可缺少的组成部分.所谓估算，实质上是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数值做适当的扩大或缩小，从而对运算结果确定一个范围，或做出一个估计.

一、解方程或判定根的个数

例1方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精确到0.1）

分析这是一道典型的近似计算题，利用数形结合可能不够精确，令f（x）=x3+lgx-18，易知x>0时，f（x）为增函数，由于f（2.5）<0，-f（2.7）>0，所以，方程f（x）=0的根x∈（2.5，2.7），故x≈2.6.

例2求方程lgx-sinx=0根的个数.

分析此题利用数形结合的方法，但需要注意的是绘制出lgx，sinx图像的变化情况.因为|sinx|≤1，所以lgx与sinx的图像只有在[-1，1]之间的部分才可能有交点.则lgx<1lgx

二、三角函数中的估算

例32sin40°+12sin40°-1x=2+3，则x等于（）.

A.tan5°B.tan15°C.tan25°D.tan75°

分析x=（2+3）2sin40°-12sin40°+1.

∵sin40°∈（sin30°，sin45°）=12，22，

故把sin40°≈0.6代入上式有x≈0.34.

又tan15°=2-3≈0.27，tan30°=33≈0.58，故选C.

例4若tanx=2aba2-b2，其中a>b>0，且0°

A.baB.a2-b22aC.2aba2+b2D.a2+b22a

分析取a=0时tanx=0，x=0°，故sinx=0，由此可知，当a从无穷大趋于零时，答案应趋于零，故A、B、D错，选C.

针对计算型的选择题，可巧妙地应用估算法，从而快速选出答案，避免烦琐的计算.

三、立体几何中的估算

例5在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与平面的距离为2，则该多面体的体积为（）.

A.92B.5C.6D.152

分析对于求体积的问题，我们目前只会计算特殊立体图形的体积，本问题中多面体既不是我们熟悉的棱柱又不是我们熟悉的棱锥，如何化解矛盾呢？

不妨从特殊情况入手，将EF长度看作0，那么图中多面体变成我们所熟悉的四棱锥，因此，体积V=13×32×2=6，显然原问题中多面体体积应大于6，故选D.

四、解析几何中的估算

例6过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF，QF长分别为p，q，则1p+1q等于（）.

A.2aB.12aC.4aD.14a

分析本题是有关不变性的问题，常规解法是探求p，q，a的关系.过程烦琐，且计算较复杂，若能充分认识到变与不变的辩证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想，即取PQ极限位置，可使问题变得简单易行.将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到y轴重合，此时Q，O重合，点P运动到无穷远处，所以不能称它是抛物线的弦，但它是弦的一种极限情形，因为QF=q=OF=14a，而PF=p→+∞，所以1p+1q→4a，故选C.

五、不等式中的估算法

不等式中常用的放缩法即是一种估算的结论，通过估算对原式进行放缩以达到解题的目的.

例7求证1+12+13+14+…+1n<2n（n∈N+）.

分析利用分数性质，可以适当增项、减项，运用放缩法证明，但需要注意放缩要适度，否则不能同向传递.

证明∵1n=22n<2n+n-1=2（n-n-1），

∴12<2（2-1），

13<2（3-2），

…

1n-1<2（n-1-n-2），

1n<2（n-n-1）；

以上各式相加，

得1+12+13+14+…+1n<2n，所以不等式成立.